Номер 7.22, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.22, страница 24.

7.22 Постройте график функции:

а) $y = \cos^2 x + \sin^2 x;$

б) $y = \cos^2 \frac{1}{x} + \sin^2 \frac{1}{x};$

в) $y = \sin^2 \sqrt{x} + \cos^2 \sqrt{x};$

г) $y = \sin^2 \frac{1}{x^2 - 4} + \cos^2 \frac{1}{x^2 - 4}.$

а) $y = \cos^2 x + \sin^2 x$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ для любого значения $\alpha$. В данном случае $\alpha = x$. Таким образом, функция упрощается до $y = 1$.
Область определения для функций $\sin x$ и $\cos x$ — все действительные числа. Следовательно, функция $y = \cos^2 x + \sin^2 x$ определена для всех $x \in (-\infty, +\infty)$.
Графиком функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, 1)$.
Ответ: График функции — это прямая $y=1$.

б) $y = \cos^2 \frac{1}{x} + \sin^2 \frac{1}{x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, где $\alpha = \frac{1}{x}$, получаем, что $y = 1$.
Однако, эта функция определена только для тех значений $x$, для которых определен ее аргумент $\frac{1}{x}$. Область определения функции (ОДЗ) находится из условия, что знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x \neq 0$.
Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Графиком функции является прямая $y = 1$ с выколотой точкой при $x = 0$. Координаты выколотой точки — $(0, 1)$.
Ответ: График функции — это прямая $y=1$ с выколотой точкой $(0, 1)$.

в) $y = \sin^2 \sqrt{x} + \cos^2 \sqrt{x}$

По основному тригонометрическому тождеству, где $\alpha = \sqrt{x}$, функция упрощается до $y = 1$.
Найдем область определения (ОДЗ) этой функции. Аргумент тригонометрических функций $\sqrt{x}$ определен только для неотрицательных значений $x$. То есть, $x \ge 0$.
Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.
Графиком функции является луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и идущий вправо вдоль прямой $y=1$.
Ответ: График функции — это луч, начинающийся в точке $(0, 1)$ и идущий вдоль прямой $y=1$ в положительном направлении оси $x$.

г) $y = \sin^2 \frac{1}{x^2 - 4} + \cos^2 \frac{1}{x^2 - 4}$

Снова применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, где $\alpha = \frac{1}{x^2 - 4}$. Получаем $y = 1$.
Теперь найдем область определения (ОДЗ). Аргумент $\frac{1}{x^2 - 4}$ определен, когда знаменатель не равен нулю:
$x^2 - 4 \neq 0$
$x^2 \neq 4$
$x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.
Графиком функции является прямая $y = 1$ с двумя выколотыми точками: при $x = -2$ и $x = 2$. Координаты выколотых точек — $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.
Ответ: График функции — это прямая $y=1$ с выколотыми точками $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.