Номер 7.16, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.16, страница 23.

7.16 a) $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\text{ctg } t - \sin t \cos t} = 2 \text{tg}^2 t;$

б) $\sin^3 t (1 + \text{ctg } t) + \cos^3 t (1 + \text{tg } t) = \sin t + \cos t.$

a) Докажем тождество $ \frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\ctg t - \sin t \cos t} = 2 \tg^2 t $.
Преобразуем левую часть равенства.
1. Упростим числитель, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $ и основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $:
$ (\sin t + \cos t)^2 - 1 = (\sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t) - 1 = (1 + 2 \sin t \cos t) - 1 = 2 \sin t \cos t $.
2. Упростим знаменатель, выразив котангенс через синус и косинус $ \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} $:
$ \ctg t - \sin t \cos t = \frac{\cos t}{\sin t} - \sin t \cos t = \frac{\cos t - \sin^2 t \cos t}{\sin t} = \frac{\cos t(1 - \sin^2 t)}{\sin t} $.
Используя тождество $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t $, получаем:
$ \frac{\cos t \cdot \cos^2 t}{\sin t} = \frac{\cos^3 t}{\sin t} $.
3. Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя в левую часть исходного равенства:
$ \frac{2 \sin t \cos t}{\frac{\cos^3 t}{\sin t}} = 2 \sin t \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos^3 t} = \frac{2 \sin^2 t \cos t}{\cos^3 t} = \frac{2 \sin^2 t}{\cos^2 t} $.
4. Используя определение тангенса $ \tg t = \frac{\sin t}{\cos t} $, получим:
$ 2 \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2 = 2 \tg^2 t $.
Мы преобразовали левую часть к виду правой части: $ 2 \tg^2 t = 2 \tg^2 t $. Тождество доказано. Область допустимых значений: $ \sin t \neq 0 $ и $ \cos t \neq 0 $, то есть $ t \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: тождество доказано.

б) Докажем тождество $ \sin^3 t (1 + \ctg t) + \cos^3 t (1 + \tg t) = \sin t + \cos t $.
Преобразуем левую часть равенства. Для этого сначала упростим выражения в скобках, используя определения котангенса $ \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} $ и тангенса $ \tg t = \frac{\sin t}{\cos t} $.
$ 1 + \ctg t = 1 + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin t + \cos t}{\sin t} $.
$ 1 + \tg t = 1 + \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\cos t + \sin t}{\cos t} $.
Теперь подставим эти выражения в левую часть тождества:
$ \sin^3 t \left(\frac{\sin t + \cos t}{\sin t}\right) + \cos^3 t \left(\frac{\cos t + \sin t}{\cos t}\right) $.
Сократим дроби:
$ \sin^2 t (\sin t + \cos t) + \cos^2 t (\sin t + \cos t) $.
Вынесем общий множитель $ (\sin t + \cos t) $ за скобки:
$ (\sin t + \cos t)(\sin^2 t + \cos^2 t) $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, получаем:
$ (\sin t + \cos t) \cdot 1 = \sin t + \cos t $.
Мы преобразовали левую часть к виду правой части: $ \sin t + \cos t = \sin t + \cos t $. Тождество доказано. Область допустимых значений для данного тождества определяется условиями существования $ \ctg t $ и $ \tg t $, то есть $ \sin t \neq 0 $ и $ \cos t \neq 0 $. Это означает, что $ t \neq \frac{\pi k}{2} $ для любого целого $ k $.
Ответ: тождество доказано.