Номер 7.9, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.9, страница 22.

7.9 a) $ \text{tg } t = \frac{3}{4} $, $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $;

б) $ \text{tg } t = 2,4 $, $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $;

В) $ \text{tg } t = -\frac{3}{4} $, $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $;

Г) $ \text{tg } t = -\frac{5}{12} $, $ \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi $.

а)

Дано: $\text{tg } t = \frac{3}{4}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$. Это I четверть, в которой все основные тригонометрические функции ($\sin t$, $\cos t$, $\text{tg } t$, $\text{ctg } t$) положительны.

1. Найдем $\text{ctg } t$ по формуле $\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t}$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

2. Найдем $\cos t$ из основного тригонометрического тождества $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$. Отсюда:

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.

Поскольку угол $t$ находится в I четверти, $\cos t$ положителен. Следовательно, $\cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

3. Найдем $\sin t$ из определения тангенса $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$, откуда $\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t$.

$\sin t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$.

В I четверти $\sin t$ положителен, что соответствует полученному значению.

Ответ: $\sin t = \frac{3}{5}$, $\cos t = \frac{4}{5}$, $\text{ctg } t = \frac{4}{3}$.

б)

Дано: $\text{tg } t = 2,4 = \frac{12}{5}$ и $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$. Это III четверть, в которой $\sin t < 0$ и $\cos t < 0$.

1. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{2,4} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.

2. Найдем $\cos t$ из тождества $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$.

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{169}{25}} = \frac{25}{169}$.

Поскольку угол $t$ находится в III четверти, $\cos t$ отрицателен. Следовательно, $\cos t = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

3. Найдем $\sin t$ из формулы $\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t$.

$\sin t = \frac{12}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) = -\frac{12}{13}$.

В III четверти $\sin t$ отрицателен, что соответствует полученному значению.

Ответ: $\sin t = -\frac{12}{13}$, $\cos t = -\frac{5}{13}$, $\text{ctg } t = \frac{5}{12}$.

в)

Дано: $\text{tg } t = -\frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Это II четверть, в которой $\sin t > 0$, а $\cos t < 0$.

1. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3}$.

2. Найдем $\cos t$ из тождества $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$.

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.

Поскольку угол $t$ находится во II четверти, $\cos t$ отрицателен. Следовательно, $\cos t = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

3. Найдем $\sin t$ из формулы $\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t$.

$\sin t = (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{3}{5}$.

Во II четверти $\sin t$ положителен, что соответствует полученному значению.

Ответ: $\sin t = \frac{3}{5}$, $\cos t = -\frac{4}{5}$, $\text{ctg } t = -\frac{4}{3}$.

г)

Дано: $\text{tg } t = -\frac{5}{12}$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Это IV четверть, в которой $\cos t > 0$, а $\sin t < 0$.

1. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.

2. Найдем $\cos t$ из тождества $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$.

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{5}{12})^2} = \frac{1}{1 + \frac{25}{144}} = \frac{1}{\frac{169}{144}} = \frac{144}{169}$.

Поскольку угол $t$ находится в IV четверти, $\cos t$ положителен. Следовательно, $\cos t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

3. Найдем $\sin t$ из формулы $\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t$.

$\sin t = (-\frac{5}{12}) \cdot \frac{12}{13} = -\frac{5}{13}$.

В IV четверти $\sin t$ отрицателен, что соответствует полученному значению.

Ответ: $\sin t = -\frac{5}{13}$, $\cos t = \frac{12}{13}$, $\text{ctg } t = -\frac{12}{5}$.