Номер 7.2, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§7. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 7.2, страница 22.

7.2 а) $(1 - \sin t)(1 + \sin t);$

б) $\cos^2 t + 1 - \sin^2 t;$

в) $(1 - \cos t)(1 + \cos t);$

г) $\sin^2 t + 2\cos^2 t - 1.$

а) Данное выражение представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Применим эту формулу, где $a=1$ и $b=\sin t$:
$(1 - \sin t)(1 + \sin t) = 1^2 - \sin^2 t = 1 - \sin^2 t$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следует, что $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$, получаем:
$1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Ответ: $\cos^2 t$

б) Сгруппируем слагаемые в выражении $\cos^2 t + 1 - \sin^2 t$ следующим образом:
$\cos^2 t + (1 - \sin^2 t)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, мы знаем, что $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Подставим это в выражение:
$\cos^2 t + \cos^2 t = 2\cos^2 t$.
Ответ: $2\cos^2 t$

в) Это выражение также является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a=1$ и $b=\cos t$:
$(1 - \cos t)(1 + \cos t) = 1^2 - \cos^2 t = 1 - \cos^2 t$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$.
Следовательно, выражение равно $\sin^2 t$.
Ответ: $\sin^2 t$

г) В выражении $\sin^2 t + 2\cos^2 t - 1$ представим $2\cos^2 t$ как сумму $\cos^2 t + \cos^2 t$:
$\sin^2 t + \cos^2 t + \cos^2 t - 1$.
Сгруппируем первые два слагаемых: $(\sin^2 t + \cos^2 t) + \cos^2 t - 1$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, заменим сумму в скобках на 1:
$1 + \cos^2 t - 1$.
Упрощаем выражение, сокращая 1 и -1:
$1 - 1 + \cos^2 t = \cos^2 t$.
Ответ: $\cos^2 t$