Номер 6.47, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.47, страница 21.

6.47 a) $\sqrt{\sin^2 5 - 2 \sin 5 \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} - \sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} - 2 \sin \frac{5\pi}{6} \sin 5 + \sin^2 5;}$

б) $\sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}} + \sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}}.$

a)

Заметим, что выражения под знаками корня представляют собой полные квадраты. Используем формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Первый член выражения: $\sqrt{\sin^2 5 - 2 \sin 5 \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} = \sqrt{(\sin 5 - \sin \frac{11\pi}{6})^2}$.

Второй член выражения: $\sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} - 2 \sin \frac{5\pi}{6} \sin 5 + \sin^2 5} = \sqrt{(\sin \frac{5\pi}{6} - \sin 5)^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $|\sin 5 - \sin \frac{11\pi}{6}| - |\sin \frac{5\pi}{6} - \sin 5|$.

Вычислим значения синусов от аргументов с $\pi$:

$\sin \frac{11\pi}{6} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -0.5$.

$\sin \frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = 0.5$.

Подставим эти значения в выражение:

$|\sin 5 - (-0.5)| - |0.5 - \sin 5| = |\sin 5 + 0.5| - |0.5 - \sin 5|$.

Теперь оценим знак выражений в модулях. Для этого нужно определить значение $\sin 5$. Аргумент 5 (радиан) находится в четвертой четверти, поскольку $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 5 < 2\pi \approx 6.28$. В этой четверти синус отрицателен.

Сравним $\sin 5$ с $-0.5$. В четвертой четверти функция синуса возрастает. Угол, синус которого равен -0.5, это $\frac{11\pi}{6} \approx 5.76$. Так как $5 < \frac{11\pi}{6}$, то и $\sin 5 < \sin \frac{11\pi}{6} = -0.5$.

Из того, что $\sin 5 < -0.5$, следует:

1. $\sin 5 + 0.5 < 0$, поэтому $|\sin 5 + 0.5| = -(\sin 5 + 0.5) = -\sin 5 - 0.5$.
2. $0.5 - \sin 5 > 0$, поэтому $|0.5 - \sin 5| = 0.5 - \sin 5$.

Подставляем раскрытые модули в итоговое выражение:

$(-\sin 5 - 0.5) - (0.5 - \sin 5) = -\sin 5 - 0.5 - 0.5 + \sin 5 = -1$.

Ответ: -1.

б)

Так же, как и в предыдущем пункте, преобразуем подкоренные выражения, используя формулу квадрата разности:

$\sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}} + \sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}}$

$= \sqrt{(\cos 4 - \cos \frac{2\pi}{3})^2} + \sqrt{(\cos 4 - \cos \frac{\pi}{3})^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:

$|\cos 4 - \cos \frac{2\pi}{3}| + |\cos 4 - \cos \frac{\pi}{3}|$.

Вычислим значения косинусов:

$\cos \frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -0.5$.

$\cos \frac{\pi}{3} = 0.5$.

Подставим эти значения в выражение:

$|\cos 4 - (-0.5)| + |\cos 4 - 0.5| = |\cos 4 + 0.5| + |\cos 4 - 0.5|$.

Оценим значение $\cos 4$. Аргумент 4 (радиана) находится в третьей четверти, так как $\pi \approx 3.14 < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. В этой четверти косинус отрицателен.

Сравним $\cos 4$ с $-0.5$. В третьей четверти функция косинуса возрастает. Угол, косинус которого равен -0.5, это $\frac{4\pi}{3} \approx 4.19$. Так как $4 < \frac{4\pi}{3}$, то $\cos 4 < \cos \frac{4\pi}{3} = -0.5$.

Из того, что $\cos 4 < -0.5$, следует:

1. $\cos 4 + 0.5 < 0$, поэтому $|\cos 4 + 0.5| = -(\cos 4 + 0.5) = -\cos 4 - 0.5$.
2. $\cos 4 - 0.5 < 0$, поэтому $|\cos 4 - 0.5| = -(\cos 4 - 0.5) = -\cos 4 + 0.5$.

Подставляем раскрытые модули в итоговое выражение:

$(-\cos 4 - 0.5) + (-\cos 4 + 0.5) = -\cos 4 - 0.5 - \cos 4 + 0.5 = -2\cos 4$.

Ответ: $-2\cos 4$.