Номер 6.43, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.43, страница 20.

Решите неравенство:

6.43 а) $sin t > 0$;

б) $sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $sin t < 0$;

г) $sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

а)

Для решения неравенства $ \sin t > 0 $ воспользуемся тригонометрической окружностью. Значение $ \sin t $ соответствует ординате (координате y) точки на окружности. Неравенство $ \sin t > 0 $ выполняется для точек, расположенных в верхней полуплоскости, то есть в I и II координатных четвертях.

Этим точкам соответствуют углы $ t $, находящиеся в интервале от $ 0 $ до $ \pi $. Поскольку функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, общее решение неравенства можно записать, прибавив к границам интервала $ 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число.

Таким образом, $ 0 + 2\pi k < t < \pi + 2\pi k $.

Ответ: $ 2\pi k < t < \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б)

Рассмотрим неравенство $ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Сначала решим соответствующее уравнение $ \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Корни уравнения, которые являются границами искомых интервалов, имеют вид $ t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $ и $ t = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

На тригонометрической окружности неравенству $ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} $ соответствуют точки, лежащие ниже прямой $ y=\frac{\sqrt{3}}{2} $. Выберем один из непрерывных интервалов, удовлетворяющих этому условию. Например, интервал, содержащий точку $ t=0 $ (так как $ \sin 0 = 0 < \frac{\sqrt{3}}{2} $). Ближайшие к нулю корни уравнения — это $ t = \frac{\pi}{3} $ (справа) и $ t = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} $ (слева). Таким образом, один из интервалов решения — $ (-\frac{4\pi}{3}, \frac{\pi}{3}) $.

Поскольку функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, общее решение получаем, добавляя $ 2\pi k $ к границам этого интервала.

Ответ: $ -\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в)

Для решения неравенства $ \sin t < 0 $ снова обратимся к тригонометрической окружности. Значение $ \sin t $ отрицательно для точек, расположенных в нижней полуплоскости, то есть в III и IV координатных четвертях.

Этим точкам соответствуют углы $ t $, находящиеся в интервале от $ \pi $ до $ 2\pi $. С учетом периодичности функции синуса, общее решение неравенства: $ \pi + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число.

Ответ: $ \pi + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г)

Рассмотрим неравенство $ \sin t > \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Как и в пункте б), сначала находим решения уравнения $ \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} $. На интервале $[0, 2\pi]$ это углы $ t_1 = \frac{\pi}{3} $ и $ t_2 = \frac{2\pi}{3} $.

Неравенство $ \sin t > \frac{\sqrt{3}}{2} $ выполняется для углов, точки которых на тригонометрической окружности лежат выше прямой $ y = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это соответствует дуге, заключенной между точками $ t_1 $ и $ t_2 $.

Таким образом, интервал решения — $ (\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}) $. Учитывая периодичность функции синуса ($ 2\pi $), получаем общее решение.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.