Номер 6.37, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.37, страница 20.

6.37 a) $(cost - 5) \cdot (3x - 1) \ge 0;$

б) $(2 + sint) \cdot (9 - x^2) \ge 0.$

a) $(\cos t - 5) \cdot (3x - 1) \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, оценим знак первого множителя $(\cos t - 5)$. Область значений функции косинус: $-1 \le \cos t \le 1$ для любого действительного $t$. Вычтем 5 из всех частей двойного неравенства: $-1 - 5 \le \cos t - 5 \le 1 - 5$ $-6 \le \cos t - 5 \le -4$ Это означает, что выражение $(\cos t - 5)$ всегда отрицательно, так как его значения лежат в промежутке $[-6, -4]$.

Исходное неравенство представляет собой произведение двух множителей. Чтобы это произведение было неотрицательным $(\ge 0)$, а один из множителей, как мы выяснили, всегда строго отрицателен, необходимо, чтобы второй множитель был неположительным (то есть меньше или равен нулю). Таким образом, неравенство равносильно следующему: $3x - 1 \le 0$

Решим это простое линейное неравенство: $3x \le 1$ $x \le \frac{1}{3}$ Решением является промежуток $(-\infty, \frac{1}{3}]$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}]$.

б) $(2 + \sin t) \cdot (9 - x^2) \ge 0$

Аналогично предыдущему пункту, оценим знак первого множителя $(2 + \sin t)$. Область значений функции синус: $-1 \le \sin t \le 1$ для любого действительного $t$. Прибавим 2 ко всем частям двойного неравенства: $-1 + 2 \le \sin t + 2 \le 1 + 2$ $1 \le 2 + \sin t \le 3$ Это означает, что выражение $(2 + \sin t)$ всегда положительно, так как его значения лежат в промежутке $[1, 3]$.

Поскольку первый множитель $(2 + \sin t)$ всегда строго положителен, для того чтобы произведение было неотрицательным $(\ge 0)$, необходимо, чтобы второй множитель $(9 - x^2)$ был также неотрицательным. Таким образом, неравенство равносильно следующему: $9 - x^2 \ge 0$

Решим это квадратное неравенство. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(3 - x)(3 + x) \ge 0$ Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(3 - x)(3 + x) = 0$. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала. График функции $y = 9 - x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-3, 3]$.

Ответ: $x \in [-3, 3]$.