Номер 6.30, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.30, страница 19.

Решите уравнение:

6.30 a) $10 \sin t = \sqrt{75}$;

б) $\sqrt{8} \sin t + 2 = 0$;

в) $8 \cos t - \sqrt{32} = 0$;

г) $8 \cos t = -\sqrt{48}$.

а) $10 \sin t = \sqrt{75}$

Разделим обе части уравнения на 10, чтобы выразить $\sin t$:
$\sin t = \frac{\sqrt{75}}{10}$
Упростим корень в числителе: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.
Подставим упрощенное значение в уравнение:
$\sin t = \frac{5\sqrt{3}}{10}$
Сократим дробь:
$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, решение уравнения:
$t = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{8} \sin t + 2 = 0$

Сначала выразим $\sin t$ из уравнения:
$\sqrt{8} \sin t = -2$
$\sin t = -\frac{2}{\sqrt{8}}$
Упростим знаменатель: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Подставим это в уравнение:
$\sin t = -\frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Общее решение для уравнения $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, и, используя свойство нечетности арксинуса, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, решение уравнения:
$t = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в) $8 \cos t - \sqrt{32} = 0$

Выразим $\cos t$ из уравнения:
$8 \cos t = \sqrt{32}$
$\cos t = \frac{\sqrt{32}}{8}$
Упростим корень в числителе: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
Подставим упрощенное значение в уравнение:
$\cos t = \frac{4\sqrt{2}}{8}$
Сократим дробь:
$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, решение уравнения:
$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

г) $8 \cos t = -\sqrt{48}$

Разделим обе части уравнения на 8, чтобы выразить $\cos t$:
$\cos t = -\frac{\sqrt{48}}{8}$
Упростим корень в числителе: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
Подставим упрощенное значение в уравнение:
$\cos t = -\frac{4\sqrt{3}}{8}$
Сократим дробь:
$\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение для уравнения $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем свойство арккосинуса $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Следовательно, решение уравнения:
$t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.