Номер 6.26, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.26, страница 19.

6.26 a) $\sin 1 \cdot \cos 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4;$

б) $\sin (-5) \cdot \cos (-6) \cdot \operatorname{tg} (-7) \cdot \operatorname{ctg} (-8).$

а) Для определения знака произведения необходимо определить знак каждого сомножителя. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

1. Определим знак $\sin 1$. Так как $0 < 1 < \pi/2 \approx 1,57$, угол в 1 радиан находится в I четверти. Синус в I четверти положителен, следовательно, $\sin 1 > 0$.

2. Определим знак $\cos 2$. Так как $\pi/2 \approx 1,57 < 2 < \pi \approx 3,14$, угол в 2 радиана находится во II четверти. Косинус во II четверти отрицателен, следовательно, $\cos 2 < 0$.

3. Определим знак $\tg 3$. Так как $\pi/2 \approx 1,57 < 3 < \pi \approx 3,14$, угол в 3 радиана находится во II четверти. Тангенс во II четверти отрицателен, следовательно, $\tg 3 < 0$.

4. Определим знак $\ctg 4$. Так как $\pi \approx 3,14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4,71$, угол в 4 радиана находится в III четверти. Котангенс в III четверти положителен, следовательно, $\ctg 4 > 0$.

Итоговый знак произведения равен произведению знаков сомножителей: $(+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$.

Ответ: Знак выражения — положительный (+).

б) Для определения знака произведения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: $\sin(-x) = -\sin x$, $\cos(-x) = \cos x$, $\tg(-x) = -\tg x$, $\ctg(-x) = -\ctg x$.

Исходное выражение можно переписать в виде:
$\sin(-5) \cdot \cos(-6) \cdot \tg(-7) \cdot \ctg(-8) = (-\sin 5) \cdot (\cos 6) \cdot (-\tg 7) \cdot (-\ctg 8) = - (\sin 5 \cdot \cos 6 \cdot \tg 7 \cdot \ctg 8)$.

Теперь определим знак произведения в скобках, находя знак каждого сомножителя. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

1. Знак $\sin 5$. Так как $3\pi/2 \approx 4,71 < 5 < 2\pi \approx 6,28$, угол в 5 радиан находится в IV четверти. Синус здесь отрицателен: $\sin 5 < 0$.

2. Знак $\cos 6$. Так как $3\pi/2 \approx 4,71 < 6 < 2\pi \approx 6,28$, угол в 6 радиан находится в IV четверти. Косинус здесь положителен: $\cos 6 > 0$.

3. Знак $\tg 7$. Так как $2\pi \approx 6,28 < 7 < 5\pi/2 \approx 7,85$, угол в 7 радиан находится в I четверти. Тангенс здесь положителен: $\tg 7 > 0$.

4. Знак $\ctg 8$. Так как $5\pi/2 \approx 7,85 < 8 < 3\pi \approx 9,42$, угол в 8 радиан находится во II четверти. Котангенс здесь отрицателен: $\ctg 8 < 0$.

Знак произведения в скобках $(\sin 5 \cdot \cos 6 \cdot \tg 7 \cdot \ctg 8)$ равен произведению знаков: $(-) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) = (+)$.

Так как перед скобками стоит знак минус, итоговый знак всего выражения будет отрицательным: $- (+) = (-)$.

Ответ: Знак выражения — отрицательный (-).