Номер 6.32, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.32, страница 19.

6.32 a) $|\sin t| = 1;$

б) $\sqrt{1 - \sin^2 t} = \frac{1}{2};$

в) $|\cos t| = 1;$

г) $\sqrt{1 - \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

а) Уравнение $|\sin t| = 1$ равносильно совокупности двух уравнений:

$ \sin t = 1 \quad $ или $ \quad \sin t = -1 $

Решением первого уравнения $ \sin t = 1 $ является серия корней:
$ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Решением второго уравнения $ \sin t = -1 $ является серия корней:
$ t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Эти две серии точек на тригонометрической окружности (верхняя и нижняя) можно объединить в одну. Расстояние между ними составляет $ \pi $, поэтому общая формула:
$ t = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

б) Решим уравнение $ \sqrt{1 - \sin^2 t} = \frac{1}{2} $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, из которого следует, что $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t $.

Подставим это в исходное уравнение:
$ \sqrt{\cos^2 t} = \frac{1}{2} $

Так как $ \sqrt{a^2} = |a| $, получаем:
$ |\cos t| = \frac{1}{2} $

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$ \cos t = \frac{1}{2} \quad $ или $ \quad \cos t = -\frac{1}{2} $

Решение для $ \cos t = \frac{1}{2} $: $ t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Решение для $ \cos t = -\frac{1}{2} $: $ t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Эти четыре точки на тригонометрической окружности ($ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} $) можно объединить в две серии корней: $ t = \frac{\pi}{3} + \pi k $ и $ t = \frac{2\pi}{3} + \pi k $. Также можно записать в более компактном виде.

Ответ: $ t = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

в) Уравнение $ |\cos t| = 1 $ равносильно совокупности двух уравнений:

$ \cos t = 1 \quad $ или $ \quad \cos t = -1 $

Решением первого уравнения $ \cos t = 1 $ является серия корней:
$ t = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Решением второго уравнения $ \cos t = -1 $ является серия корней:
$ t = \pi + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Эти две серии точек на тригонометрической окружности (правая и левая) можно объединить в одну. Они повторяются через каждый полуоборот ($ \pi $), поэтому общая формула:
$ t = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = \pi k, k \in \mathbb{Z} $

г) Решим уравнение $ \sqrt{1 - \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, из которого следует, что $ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t $.

Подставим это в исходное уравнение:
$ \sqrt{\sin^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Так как $ \sqrt{a^2} = |a| $, получаем:
$ |\sin t| = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad $ или $ \quad \sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Решениями являются углы, для которых синус по модулю равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это углы $ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} $ и все углы, отличающиеся от них на $ 2\pi k $.

Все эти четыре точки на тригонометрической окружности расположены на концах диаметров, образующих угол 45 градусов с осями координат. Они повторяются через каждые $ \frac{\pi}{2} $. Следовательно, все решения можно записать одной формулой, взяв первую точку $ \frac{\pi}{4} $ и добавляя к ней $ \frac{\pi}{2} $ целое число раз.

Ответ: $ t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $