Номер 6.25, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.25, страница 18.

6.25 a) $\cos \frac{5\pi}{9} - \operatorname{tg} \frac{25\pi}{18};$

б) $\operatorname{tg} 1 - \cos 2;$

в) $\sin \frac{7\pi}{10} - \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{5};$

г) $\sin 2 - \operatorname{ctg} 5,5.$

а) Чтобы определить знак выражения $ \cos \frac{5\pi}{9} - \text{tg} \frac{25\pi}{18} $, найдем знаки каждого из его членов. Угол $ \frac{5\pi}{9} $ находится во второй координатной четверти, так как $ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \pi $. В этой четверти косинус отрицателен, поэтому $ \cos \frac{5\pi}{9} < 0 $. Угол $ \frac{25\pi}{18} $ можно представить как $ \frac{25\pi}{18} = \pi + \frac{7\pi}{18} $, он находится в третьей координатной четверти, где тангенс положителен, поэтому $ \text{tg} \frac{25\pi}{18} > 0 $. Выражение представляет собой разность отрицательного и положительного чисел, которая всегда отрицательна: $ (\text{отрицательное}) - (\text{положительное}) < 0 $.
Ответ: $ \cos \frac{5\pi}{9} - \text{tg} \frac{25\pi}{18} < 0 $.

б) Чтобы определить знак выражения $ \text{tg} \, 1 - \cos 2 $, определим знаки его членов, учитывая, что углы заданы в радианах ($ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $). Угол $ 1 $ радиан находится в первой четверти, так как $ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} $. В этой четверти тангенс положителен, то есть $ \text{tg} \, 1 > 0 $. Угол $ 2 $ радиана находится во второй четверти, так как $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $. В этой четверти косинус отрицателен, то есть $ \cos 2 < 0 $. Выражение представляет собой разность положительного и отрицательного чисел, которая всегда положительна: $ (\text{положительное}) - (\text{отрицательное}) > 0 $.
Ответ: $ \text{tg} \, 1 - \cos 2 > 0 $.

в) Чтобы определить знак выражения $ \sin \frac{7\pi}{10} - \text{ctg} \frac{3\pi}{5} $, найдем знаки каждого из его членов. Угол $ \frac{7\pi}{10} $ находится во второй четверти, так как $ \frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{10} < \pi $. Во второй четверти синус положителен, поэтому $ \sin \frac{7\pi}{10} > 0 $. Угол $ \frac{3\pi}{5} $ также находится во второй четверти, так как $ \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi $. Во второй четверти котангенс отрицателен, поэтому $ \text{ctg} \frac{3\pi}{5} < 0 $. Выражение представляет собой разность положительного и отрицательного чисел, которая всегда положительна: $ (\text{положительное}) - (\text{отрицательное}) > 0 $.
Ответ: $ \sin \frac{7\pi}{10} - \text{ctg} \frac{3\pi}{5} > 0 $.

г) Чтобы определить знак выражения $ \sin 2 - \text{ctg} \, 5.5 $, определим знаки его членов, учитывая, что углы заданы в радианах ($ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $, $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $, $ 2\pi \approx 6.28 $). Угол $ 2 $ радиана находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $), где синус положителен, то есть $ \sin 2 > 0 $. Угол $ 5.5 $ радиан находится в четвертой четверти ($ \frac{3\pi}{2} < 5.5 < 2\pi $), где котангенс отрицателен, то есть $ \text{ctg} \, 5.5 < 0 $. Выражение представляет собой разность положительного и отрицательного чисел, которая всегда положительна: $ (\text{положительное}) - (\text{отрицательное}) > 0 $.
Ответ: $ \sin 2 - \text{ctg} \, 5.5 > 0 $.