Номер 6.21, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс - номер 6.21, страница 18.

Условие.

6.21 а) $\text{tg} \frac{6\pi}{7}$;

б) $\text{ctg} \frac{10\pi}{9}$;

в) $\text{tg} \frac{8\pi}{11}$;

г) $\text{ctg} \frac{11\pi}{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Чтобы определить знак выражения $\text{tg} \frac{6\pi}{7}$, необходимо определить, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол $\frac{6\pi}{7}$.

Сравним этот угол с границами четвертей:

Первая четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$.

Вторая четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$.

Приведем дроби к общему знаменателю 7:

$\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$

$\pi = \frac{7\pi}{7}$

Так как $\frac{3.5\pi}{7} < \frac{6\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$, то угол $\frac{6\pi}{7}$ находится во второй четверти.

В этой четверти синус положителен ($\text{sin} x > 0$), а косинус отрицателен ($\text{cos} x < 0$). Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $\text{tg} x = \frac{\text{sin} x}{\text{cos} x}$.

Следовательно, во второй четверти тангенс отрицателен.

Ответ: $\text{tg} \frac{6\pi}{7} < 0$.

б)

Чтобы определить знак выражения $\text{ctg} \frac{10\pi}{9}$, найдем, в какой четверти находится угол $\frac{10\pi}{9}$.

Сравним угол с границами четвертей, приведя дроби к общему знаменателю 9:

$\pi = \frac{9\pi}{9}$

$\frac{3\pi}{2} = \frac{13.5\pi}{9}$

Неравенство $\frac{9\pi}{9} < \frac{10\pi}{9} < \frac{13.5\pi}{9}$ показывает, что угол $\frac{10\pi}{9}$ находится в третьей четверти.

В третьей четверти и синус, и косинус отрицательны ($\text{sin} x < 0$, $\text{cos} x < 0$). Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg} x = \frac{\text{cos} x}{\text{sin} x}$.

Отношение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому в третьей четверти котангенс положителен.

Ответ: $\text{ctg} \frac{10\pi}{9} > 0$.

в)

Определим знак выражения $\text{tg} \frac{8\pi}{11}$ путем нахождения четверти, в которой расположен угол $\frac{8\pi}{11}$.

Сравним угол с границами четвертей, приведя дроби к общему знаменателю 11:

$\frac{\pi}{2} = \frac{5.5\pi}{11}$

$\pi = \frac{11\pi}{11}$

Из неравенства $\frac{5.5\pi}{11} < \frac{8\pi}{11} < \frac{11\pi}{11}$ следует, что угол $\frac{8\pi}{11}$ находится во второй четверти.

Во второй четверти тангенс отрицателен ($\text{tg} x = \frac{\text{sin} x}{\text{cos} x}$, где $\text{sin} x > 0$, а $\text{cos} x < 0$).

Ответ: $\text{tg} \frac{8\pi}{11} < 0$.

г)

Чтобы определить знак выражения $\text{ctg} \frac{11\pi}{5}$, найдем, в какой четверти находится угол $\frac{11\pi}{5}$.

Угол $\frac{11\pi}{5}$ больше, чем $2\pi$. Воспользуемся периодичностью функции котангенса. Период котангенса равен $\pi$.

Представим угол в виде $\frac{11\pi}{5} = \frac{10\pi + \pi}{5} = \frac{10\pi}{5} + \frac{\pi}{5} = 2\pi + \frac{\pi}{5}$.

Так как котангенс является периодической функцией с периодом $\pi$, то $\text{ctg}(\alpha + k\pi) = \text{ctg}(\alpha)$ для любого целого $k$. В нашем случае $2\pi = 2 \cdot \pi$, поэтому $k=2$.

$\text{ctg} \frac{11\pi}{5} = \text{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{5}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{5})$.

Угол $\frac{\pi}{5}$ находится в первой четверти, так как $0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\frac{\pi}{2} = \frac{2.5\pi}{5}$).

В первой четверти все тригонометрические функции, включая котангенс, положительны.

Ответ: $\text{ctg} \frac{11\pi}{5} > 0$.