Номер 6.14, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.14, страница 17.

6.14 a) $\sin^2 t - \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{3}$;

б) $\sin^2 t + \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{4}$;

в) $\sin^2 t - \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{4}$;

г) $\sin^2 t + \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{6}$.

а) Требуется найти значение выражения $sin^2 t - cos^2 t$ при $t = \frac{\pi}{3}$.

Сначала найдем значения синуса и косинуса для угла $t = \frac{\pi}{3}$:

$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$sin^2(\frac{\pi}{3}) - cos^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Альтернативный способ — использовать формулу косинуса двойного угла: $cos(2t) = cos^2 t - sin^2 t$. Отсюда следует, что $sin^2 t - cos^2 t = -cos(2t)$.

Подставим $t = \frac{\pi}{3}$: $-cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{2\pi}{3}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Требуется найти значение выражения $sin^2 t + cos^2 t$ при $t = \frac{\pi}{4}$.

Выражение $sin^2 t + cos^2 t$ является основным тригонометрическим тождеством, и его значение всегда равно 1 для любого действительного значения $t$.

$sin^2 t + cos^2 t = 1$

Следовательно, при $t = \frac{\pi}{4}$, значение выражения равно 1.

Для проверки можно подставить значения $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$sin^2(\frac{\pi}{4}) + cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: 1

в) Требуется найти значение выражения $sin^2 t - cos^2 t$ при $t = \frac{\pi}{4}$.

Найдем значения синуса и косинуса для угла $t = \frac{\pi}{4}$:

$sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$sin^2(\frac{\pi}{4}) - cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} - \frac{2}{4} = 0$.

Используя формулу косинуса двойного угла $sin^2 t - cos^2 t = -cos(2t)$, получим:

$-cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = -cos(\frac{\pi}{2}) = -0 = 0$.

Ответ: 0

г) Требуется найти значение выражения $sin^2 t + cos^2 t$ при $t = \frac{\pi}{6}$.

Как и в пункте б), мы используем основное тригонометрическое тождество:

$sin^2 t + cos^2 t = 1$

Это тождество верно для любого значения $t$, поэтому при $t = \frac{\pi}{6}$ результат также будет равен 1.

Проверим путем подстановки значений $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$sin^2(\frac{\pi}{6}) + cos^2(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: 1