Номер 6.10, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.10, страница 17.

6.10 a) $ \text{tg} \frac{\pi}{5} \cdot \text{ctg} \frac{\pi}{5}; $

Б) $ 3 \text{tg} 2,3 \cdot \text{ctg} 2,3; $

В) $ \text{tg} \frac{\pi}{7} \cdot \text{ctg} \frac{\pi}{7}; $

Г) $ 7 \text{tg} \frac{\pi}{12} \cdot \text{ctg} \frac{\pi}{12}. $

а) Для решения данного примера используется основное тригонометрическое тождество, которое гласит, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$. Это тождество справедливо для всех углов $\alpha$, для которых $tg\alpha$ и $ctg\alpha$ определены (то есть $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — целое число).
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{5}$. Этот угол не попадает под ограничения, поэтому тождество применимо.
$tg\frac{\pi}{5} \cdot ctg\frac{\pi}{5} = 1$.
Ответ: 1

б) В этом выражении можно вынести числовой коэффициент 3 за скобки.
$3tg(2,3) \cdot ctg(2,3) = 3 \cdot (tg(2,3) \cdot ctg(2,3))$.
Далее, как и в предыдущем пункте, применяем тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$. Здесь угол $\alpha = 2,3$ радиана. Данное значение угла не приводит к неопределенности тангенса или котангенса.
Следовательно, $tg(2,3) \cdot ctg(2,3) = 1$.
Подставляем это значение обратно в выражение: $3 \cdot 1 = 3$.
Ответ: 3

в) Снова используем основное тригонометрическое тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$.
В этом случае угол $\alpha = \frac{\pi}{7}$. Для этого угла функции тангенса и котангенса определены.
Таким образом, $tg\frac{\pi}{7} \cdot ctg\frac{\pi}{7} = 1$.
Ответ: 1

г) Аналогично пункту б), выносим числовой коэффициент 7 за скобки.
$7tg\frac{\pi}{12} \cdot ctg\frac{\pi}{12} = 7 \cdot (tg\frac{\pi}{12} \cdot ctg\frac{\pi}{12})$.
Применяем тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$ для угла $\alpha = \frac{\pi}{12}$. Функции для данного угла определены.
Значит, $tg\frac{\pi}{12} \cdot ctg\frac{\pi}{12} = 1$.
В результате получаем: $7 \cdot 1 = 7$.
Ответ: 7