Номер 6.6, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.6, страница 16.

6.6 a) $\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)+\cos \frac{\pi}{3}+\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right);$

б) $\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{2};$

в) $\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)-\cos (-\pi)+\sin \left(-\frac{3 \pi}{2}\right);$

г) $\sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin \frac{\pi}{2}.$

а)

Для решения данного выражения необходимо использовать свойства чётности и нечётности тригонометрических функций, а также табличные значения тригонометрических функций для стандартных углов.

Выражение: $ \sin(-\frac{\pi}{4}) + \cos\frac{\pi}{3} + \cos(-\frac{\pi}{6}) $

1. Синус является нечётной функцией, поэтому $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Следовательно, $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) $. Табличное значение $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Таким образом, $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

2. Косинус является чётной функцией, поэтому $ \cos(-x) = \cos(x) $. Следовательно, $ \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) $. Табличное значение $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

3. Табличное значение $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $.

4. Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$ \sin(-\frac{\pi}{4}) + \cos\frac{\pi}{3} + \cos(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} $

б)

Для решения данного выражения необходимо найти произведение табличных значений косинусов.

Выражение: $ \cos\frac{\pi}{6} \cdot \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{2} $

1. Найдём значения каждого множителя: $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $; $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $; $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $; $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $.

2. Так как один из множителей равен нулю, всё произведение будет равно нулю.

$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 $

Ответ: $ 0 $

в)

Для решения данного выражения необходимо использовать свойства чётности и нечётности тригонометрических функций и их значения в граничных точках единичной окружности.

Выражение: $ \sin(-\frac{\pi}{2}) - \cos(-\pi) + \sin(-\frac{3\pi}{2}) $

1. Используем свойство нечётности синуса $ \sin(-x) = -\sin(x) $ и свойство чётности косинуса $ \cos(-x) = \cos(x) $. Выражение принимает вид: $ -\sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(\pi) - \sin(\frac{3\pi}{2}) $.

2. Найдём значения тригонометрических функций: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $; $ \cos(\pi) = -1 $; $ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $.

3. Подставляем найденные значения в преобразованное выражение:

$ -(1) - (-1) - (-1) = -1 + 1 + 1 = 1 $

Альтернативный способ для последнего слагаемого: $ \sin(-\frac{3\pi}{2}) = \sin(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $.

Тогда исходное выражение: $ \sin(-\frac{\pi}{2}) - \cos(-\pi) + \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -1 - (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1 $.

Ответ: $ 1 $

г)

Для решения данного выражения необходимо найти произведение табличных значений синусов.

Выражение: $ \sin\frac{\pi}{6} \cdot \sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot \sin\frac{\pi}{2} $

1. Найдём значения каждого множителя: $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $; $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $; $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $; $ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $.

2. Перемножим все значения:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{1 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{8} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{8} $