Номер 6.12, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.12, страница 17.

6.12 Упростите выражение:

a) $sint \cdot cost \cdot tgt;$

б) $sint \cdot cost \cdot ctgt - 1;$

В) $\sin^2t - tgt \cdot ctgt;$

Г) $\frac{1 - \cos^2t}{1 - \sin^2t}.$

а) Для упрощения выражения $ \sin t \cdot \cos t \cdot \text{tg} t $ воспользуемся определением тангенса: $ \text{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} $.

Подставим это определение в исходное выражение:

$ \sin t \cdot \cos t \cdot \text{tg} t = \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} $

Сократим $ \cos t $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \cos t \neq 0 $):

$ \sin t \cdot \sin t = \sin^2 t $

Ответ: $ \sin^2 t $

б) Упростим выражение $ \sin t \cdot \cos t \cdot \text{ctg} t - 1 $. Воспользуемся определением котангенса: $ \text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $.

Подставим это определение в выражение:

$ \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} - 1 $

Сократим $ \sin t $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin t \neq 0 $):

$ \cos t \cdot \cos t - 1 = \cos^2 t - 1 $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, из которого следует, что $ \cos^2 t - 1 = -\sin^2 t $.

Ответ: $ -\sin^2 t $

в) Рассмотрим выражение $ \sin^2 t - \text{tg} t \cdot \text{ctg} t $. Используем тождество $ \text{tg} t \cdot \text{ctg} t = 1 $ (при условии, что $ \sin t \neq 0 $ и $ \cos t \neq 0 $).

Подставим это в выражение:

$ \sin^2 t - 1 $

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $ следует, что $ \sin^2 t - 1 = -\cos^2 t $.

Ответ: $ -\cos^2 t $

г) Упростим дробь $ \frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t} $. Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

Из него следуют два равенства:

$ 1 - \cos^2 t = \sin^2 t $

$ 1 - \sin^2 t = \cos^2 t $

Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби:

$ \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} $

По определению тангенса $ \text{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} $, следовательно, $ \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = (\frac{\sin t}{\cos t})^2 = \text{tg}^2 t $.

Ответ: $ \text{tg}^2 t $