Номер 6.8, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 6.8, страница 17.

6.8 a) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4}$;

Б) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{6}$;

В) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6}$;

Г) $\operatorname{tg} \frac{9\pi}{4} + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}$.

a)

Для вычисления значения выражения $\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{ctg}\frac{5\pi}{4}$ найдем значения каждого слагаемого.

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным: $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Для вычисления котангенса угла $\frac{5\pi}{4}$ воспользуемся формулой приведения. Представим угол в виде суммы: $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$.

Согласно формуле приведения $\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}(\alpha)$, получаем:

$\text{ctg}\frac{5\pi}{4} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}\frac{\pi}{4}$.

Табличное значение котангенса угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1: $\text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Теперь сложим полученные значения:

$\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{ctg}\frac{5\pi}{4} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

б)

Для вычисления значения выражения $\text{ctg}\frac{\pi}{3} \cdot \text{tg}\frac{\pi}{6}$ найдем значения каждого множителя.

Это табличные значения тригонометрических функций:

$\text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Теперь перемножим эти значения:

$\text{ctg}\frac{\pi}{3} \cdot \text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{(\sqrt{3})^2}{3 \cdot 3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

в)

Для вычисления значения выражения $\text{tg}\frac{\pi}{6} - \text{ctg}\frac{\pi}{6}$ найдем табличные значения уменьшаемого и вычитаемого.

$\text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.

Выполним вычитание:

$\text{tg}\frac{\pi}{6} - \text{ctg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}$.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{3} = \frac{-2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

г)

Для вычисления значения выражения $\text{tg}\frac{9\pi}{4} + \text{ctg}\frac{\pi}{4}$ найдем значения каждого слагаемого.

Для вычисления $\text{tg}\frac{9\pi}{4}$ воспользуемся свойством периодичности тангенса, период которого равен $\pi$.

Представим угол $\frac{9\pi}{4}$ следующим образом: $\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.

Так как $\text{tg}(x + 2\pi) = \text{tg}(x)$, то:

$\text{tg}\frac{9\pi}{4} = \text{tg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Значение котангенса угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным: $\text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Теперь сложим полученные значения:

$\text{tg}\frac{9\pi}{4} + \text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2