Номер 6.2, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 2. Тригонометрические функции. §6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс - номер 6.2, страница 16.

Условие.

6.2. а) $t = -2\pi;$

б) $t = -\frac{\pi}{2};$

в) $t = -\frac{3\pi}{2};$

г) $t = -\pi.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $t = -2\pi$

Угол $t = -2\pi$ на единичной окружности соответствует полному обороту по часовой стрелке от начальной точки $(1, 0)$. Конечная точка совпадает с начальной: $(1, 0)$. Координаты этой точки являются значениями косинуса и синуса для данного угла.
$cos(-2\pi) = 1$ (координата x)
$sin(-2\pi) = 0$ (координата y)
Тангенс и котангенс находим по определениям:
$tan(-2\pi) = \frac{sin(-2\pi)}{cos(-2\pi)} = \frac{0}{1} = 0$
$cot(-2\pi) = \frac{cos(-2\pi)}{sin(-2\pi)} = \frac{1}{0}$. Деление на ноль невозможно, значит, котангенс не определен.

Ответ: $sin(-2\pi) = 0$, $cos(-2\pi) = 1$, $tan(-2\pi) = 0$, $cot(-2\pi)$ не определен.

б) $t = -\frac{\pi}{2}$

Угол $t = -\frac{\pi}{2}$ соответствует повороту на четверть оборота ($90^\circ$) по часовой стрелке от начальной точки $(1, 0)$. Мы попадаем в нижнюю точку единичной окружности с координатами $(0, -1)$.
$cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ (координата x)
$sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ (координата y)
Вычисляем тангенс и котангенс:
$tan(-\frac{\pi}{2}) = \frac{sin(-\frac{\pi}{2})}{cos(-\frac{\pi}{2})} = \frac{-1}{0}$. Тангенс не определен.
$cot(-\frac{\pi}{2}) = \frac{cos(-\frac{\pi}{2})}{sin(-\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0$

Ответ: $sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, $cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$, $tan(-\frac{\pi}{2})$ не определен, $cot(-\frac{\pi}{2}) = 0$.

в) $t = -\frac{3\pi}{2}$

Угол $t = -\frac{3\pi}{2}$ соответствует повороту на три четверти оборота ($270^\circ$) по часовой стрелке от точки $(1, 0)$. Это приводит нас в верхнюю точку единичной окружности с координатами $(0, 1)$.
$cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$ (координата x)
$sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$ (координата y)
Вычисляем тангенс и котангенс:
$tan(-\frac{3\pi}{2}) = \frac{sin(-\frac{3\pi}{2})}{cos(-\frac{3\pi}{2})} = \frac{1}{0}$. Тангенс не определен.
$cot(-\frac{3\pi}{2}) = \frac{cos(-\frac{3\pi}{2})}{sin(-\frac{3\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: $sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$, $cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$, $tan(-\frac{3\pi}{2})$ не определен, $cot(-\frac{3\pi}{2}) = 0$.

г) $t = -\pi$

Угол $t = -\pi$ соответствует повороту на половину оборота ($180^\circ$) по часовой стрелке от точки $(1, 0)$. Мы попадаем в крайнюю левую точку единичной окружности с координатами $(-1, 0)$.
$cos(-\pi) = -1$ (координата x)
$sin(-\pi) = 0$ (координата y)
Вычисляем тангенс и котангенс:
$tan(-\pi) = \frac{sin(-\pi)}{cos(-\pi)} = \frac{0}{-1} = 0$
$cot(-\pi) = \frac{cos(-\pi)}{sin(-\pi)} = \frac{-1}{0}$. Котангенс не определен.

Ответ: $sin(-\pi) = 0$, $cos(-\pi) = -1$, $tan(-\pi) = 0$, $cot(-\pi)$ не определен.