Страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

5.16 a) $y > 0$;

б) $y < \frac{1}{2}$;

в) $y > \frac{1}{2}$;

г) $y < 0$.

Для решения данных неравенств необходимо знать функцию $y$. Предположим, что речь идет о функции $y = \sin x \cos x$, так как это соответствует заданию 5.16 из распространенных задачников по алгебре и началам анализа.
Сначала преобразуем функцию, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$y = \sin x \cos x = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) = \frac{1}{2} \sin(2x)$.

Теперь решим каждое неравенство.

Решим неравенство $y > 0$.

$\frac{1}{2} \sin(2x) > 0$

$\sin(2x) > 0$

Синус положителен, когда его аргумент находится в интервале от $0$ до $\pi$ (с учетом периодичности). Таким образом, для аргумента $2x$ имеем:

$2\pi k < 2x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 2:

$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство $y < \frac{1}{2}$.

$\frac{1}{2} \sin(2x) < \frac{1}{2}$

$\sin(2x) < 1$

Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$. Неравенство $\sin(2x) < 1$ справедливо для всех значений $x$, кроме тех, для которых $\sin(2x) = 1$.

Найдем, когда $\sin(2x) = 1$:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, решение неравенства — это все действительные числа, за исключением найденных точек.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство $y > \frac{1}{2}$.

$\frac{1}{2} \sin(2x) > \frac{1}{2}$

$\sin(2x) > 1$

Поскольку максимальное значение функции синус равно 1, не существует таких значений $x$, при которых $\sin(2x)$ был бы больше 1. Таким образом, у данного неравенства нет решений.

Ответ: решений нет.

Решим неравенство $y < 0$.

$\frac{1}{2} \sin(2x) < 0$

$\sin(2x) < 0$

Синус отрицателен, когда его аргумент находится в интервале от $\pi$ до $2\pi$ (с учетом периодичности). Таким образом, для аргумента $2x$ имеем:

$\pi + 2\pi k < 2x < 2\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 2:

$\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5.17 a) $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $y > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $y \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $y \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку в условии не указано, что представляет собой переменная y, но значения в неравенствах являются табличными для тригонометрических функций, будем решать задачу в предположении, что y — это либо $\sin(t)$, либо $\cos(t)$. Решим неравенства для обоих случаев, где t — искомый угол, а $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

а) $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Случай 1: $y = \sin(t)$
Решаем неравенство $\sin(t) < \frac{\sqrt{2}}{2}$. Сначала найдем углы, для которых $\sin(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности это точки, ордината которых равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки соответствуют углам $t_1 = \frac{\pi}{4}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Неравенство $\sin(t) < \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для всех точек единичной окружности, которые лежат ниже прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга, начинающаяся в точке $\frac{3\pi}{4}$ и заканчивающаяся в точке $\frac{\pi}{4}$ следующего оборота ($2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$).
С учетом периодичности, общее решение: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$.

Случай 2: $y = \cos(t)$
Решаем неравенство $\cos(t) < \frac{\sqrt{2}}{2}$. Углы, для которых $\cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, равны $t_1 = \frac{\pi}{4}$ и $t_2 = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$).
Неравенство $\cos(t) < \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для точек единичной окружности, которые лежат левее прямой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$ против часовой стрелки.
С учетом периодичности, общее решение: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$.

Ответ: для $y = \sin(t)$ решение $t \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{9\pi}{4} + 2\pi k)$; для $y = \cos(t)$ решение $t \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Случай 1: $y = \sin(t)$
Решаем неравенство $\sin(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Углы, для которых $\sin(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, равны $t_1 = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$) и $t_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4}$.
Неравенство выполняется для точек окружности, лежащих выше прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$ против часовой стрелки.
Общее решение: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Случай 2: $y = \cos(t)$
Решаем неравенство $\cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Углы, для которых $\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, равны $t_1 = \frac{3\pi}{4}$ и $t_2 = -\frac{3\pi}{4}$ (или $\frac{5\pi}{4}$).
Неравенство выполняется для точек окружности, лежащих правее прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $-\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$ против часовой стрелки.
Общее решение: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Ответ: для $y = \sin(t)$ решение $t \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k)$; для $y = \cos(t)$ решение $t \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Случай 1: $y = \sin(t)$
Решаем неравенство $\sin(t) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Углы, для которых $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, равны $t_1 = -\frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3}$ (или $-\frac{2\pi}{3}$).
Неравенство выполняется для точек окружности, лежащих на прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ или ниже нее. Это дуга от $-\frac{2\pi}{3}$ до $-\frac{\pi}{3}$ против часовой стрелки.
Общее решение: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Случай 2: $y = \cos(t)$
Решаем неравенство $\cos(t) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Углы, для которых $\cos(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, равны $t_1 = \frac{5\pi}{6}$ и $t_2 = -\frac{5\pi}{6}$ (или $\frac{7\pi}{6}$).
Неравенство выполняется для точек окружности, лежащих на прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ или левее нее. Это дуга от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$ против часовой стрелки.
Общее решение: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: для $y = \sin(t)$ решение $t \in [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, -\frac{\pi}{3} + 2\pi k]$; для $y = \cos(t)$ решение $t \in [\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $y \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

Случай 1: $y = \sin(t)$
Решаем неравенство $\sin(t) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$. Углы, для которых $\sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, равны $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Неравенство выполняется для точек окружности, лежащих на прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или выше нее. Это дуга от $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$ против часовой стрелки.
Общее решение: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Случай 2: $y = \cos(t)$
Решаем неравенство $\cos(t) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$. Углы, для которых $\cos(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, равны $t_1 = \frac{\pi}{6}$ и $t_2 = -\frac{\pi}{6}$.
Неравенство выполняется для точек окружности, лежащих на прямой $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или правее нее. Это дуга от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ против часовой стрелки.
Общее решение: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: для $y = \sin(t)$ решение $t \in [\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k]$; для $y = \cos(t)$ решение $t \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6.3 a) $t = \frac{5\pi}{6};$

б) $t = \frac{5\pi}{4};$

В) $t = \frac{7\pi}{6};$

Г) $t = \frac{7\pi}{4}.$

а) Для угла $t = \frac{5\pi}{6}$ определим значения основных тригонометрических функций. Данный угол находится во второй координатной четверти единичной окружности, поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$. Во второй четверти значения синуса положительны, а косинуса и тангенса — отрицательны. Для вычислений воспользуемся формулами приведения, представив угол $t$ через опорный угол $\frac{\pi}{6}$: $t = \frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$.
Находим синус: $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
Находим косинус: $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Находим тангенс: $\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\sin(5\pi/6)}{\cos(5\pi/6)} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Для угла $t = \frac{5\pi}{4}$ определим значения основных тригонометрических функций. Данный угол находится в третьей координатной четверти, так как $\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$. В третьей четверти значения синуса и косинуса отрицательны, а тангенса — положительны. Используем формулы приведения с опорным углом $\frac{\pi}{4}$: $t = \frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$.
Находим синус: $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим косинус: $\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим тангенс: $\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{\sin(5\pi/4)}{\cos(5\pi/4)} = \frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = 1$.
Ответ: $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)=1$.

в) Для угла $t = \frac{7\pi}{6}$ определим значения основных тригонометрических функций. Данный угол находится в третьей координатной четверти, так как $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$. В третьей четверти значения синуса и косинуса отрицательны, а тангенса — положительны. Используем формулы приведения с опорным углом $\frac{\pi}{6}$: $t = \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$.
Находим синус: $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
Находим косинус: $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Находим тангенс: $\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{\sin(7\pi/6)}{\cos(7\pi/6)} = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$, $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) Для угла $t = \frac{7\pi}{4}$ определим значения основных тригонометрических функций. Данный угол находится в четвертой координатной четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$. В четвертой четверти значения косинуса положительны, а синуса и тангенса — отрицательны. Используем формулы приведения с опорным углом $\frac{\pi}{4}$: $t = \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$.
Находим синус: $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим косинус: $\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим тангенс: $\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sin(7\pi/4)}{\cos(7\pi/4)} = \frac{-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = -1$.
Ответ: $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-1$.

6.4 a) $t = -\frac{7\pi}{4}$;

б) $t = -\frac{4\pi}{3}$;

В) $t = -\frac{5\pi}{6}$;

Г) $t = -\frac{5\pi}{3}$.

а) $t = -\frac{7\pi}{4}$

Чтобы найти значения тригонометрических функций для угла $t = -\frac{7\pi}{4}$, мы можем найти соответствующий ему котерминальный угол, который лежит в промежутке от $0$ до $2\pi$. Для этого прибавим к данному углу $2\pi$ (полный оборот), так как тригонометрические функции периодичны с периодом $2\pi$ (или $\pi$ для тангенса и котангенса).

$t' = -\frac{7\pi}{4} + 2\pi = -\frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Значения тригонометрических функций для угла $-\frac{7\pi}{4}$ совпадают со значениями для угла $\frac{\pi}{4}$. Этот угол находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны.

$\cos(-\frac{7\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(-\frac{7\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(-\frac{7\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

$\cot(-\frac{7\pi}{4}) = \cot(\frac{\pi}{4}) = 1$

Ответ: $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \tan t = 1, \cot t = 1$.

б) $t = -\frac{4\pi}{3}$

Найдем котерминальный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, прибавив $2\pi$:

$t' = -\frac{4\pi}{3} + 2\pi = -\frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти. В этой четверти косинус отрицателен, а синус положителен. Опорный угол (угол, который вектор составляет с осью Ox) равен $\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

$\cos(-\frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(-\frac{4\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(-\frac{4\pi}{3}) = \frac{\sin(2\pi/3)}{\cos(2\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$

$\cot(-\frac{4\pi}{3}) = \frac{1}{\tan(-4\pi/3)} = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\cos t = -\frac{1}{2}, \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan t = -\sqrt{3}, \cot t = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) $t = -\frac{5\pi}{6}$

Найдем котерминальный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, прибавив $2\pi$:

$t' = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = -\frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в третьей четверти. В этой четверти и синус, и косинус отрицательны. Опорный угол равен $\frac{7\pi}{6} - \pi = \frac{\pi}{6}$.

$\cos(-\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(-\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

$\tan(-\frac{5\pi}{6}) = \frac{\sin(7\pi/6)}{\cos(7\pi/6)} = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot(-\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{\tan(-5\pi/6)} = \sqrt{3}$

Ответ: $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin t = -\frac{1}{2}, \tan t = \frac{\sqrt{3}}{3}, \cot t = \sqrt{3}$.

г) $t = -\frac{5\pi}{3}$

Найдем котерминальный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, прибавив $2\pi$:

$t' = -\frac{5\pi}{3} + 2\pi = -\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Значения тригонометрических функций для угла $-\frac{5\pi}{3}$ совпадают со значениями для угла $\frac{\pi}{3}$. Этот угол находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны.

$\cos(-\frac{5\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin(-\frac{5\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(-\frac{5\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

$\cot(-\frac{5\pi}{3}) = \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\cos t = \frac{1}{2}, \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan t = \sqrt{3}, \cot t = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

6.5 а) $t = \frac{13\pi}{6}$;

б) $t = -\frac{8\pi}{3}$;

В) $t = \frac{23\pi}{6}$;

Г) $t = -\frac{11\pi}{4}$.

а) Чтобы определить, в какой четверти единичной окружности находится точка, соответствующая углу $t = \frac{13\pi}{6}$, найдем для этого угла эквивалентный ему угол в промежутке $[0, 2\pi)$. Для этого нужно вычесть или прибавить целое число полных оборотов ($2\pi$).
Представим угол $t = \frac{13\pi}{6}$ в виде суммы, выделив целое число оборотов ($2\pi = \frac{12\pi}{6}$):
$t = \frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.
Это означает, что угол $\frac{13\pi}{6}$ соответствует одному полному обороту по окружности против часовой стрелки и дополнительному повороту на угол $\frac{\pi}{6}$. Таким образом, конечное положение точки на окружности будет таким же, как и для угла $\frac{\pi}{6}$.
Определим четверть для угла $\frac{\pi}{6}$. Так как выполняется неравенство $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$, точка, соответствующая этому углу, находится в I четверти.
Ответ: I четверть.

б) Для отрицательного угла $t = -\frac{8\pi}{3}$ найдем соответствующий ему положительный угол в промежутке $[0, 2\pi)$. Для этого будем прибавлять полные обороты ($2\pi$) до тех пор, пока не получим значение в нужном диапазоне.
Один полный оборот равен $2\pi = \frac{6\pi}{3}$. Прибавим $2\pi$ к нашему углу:
$-\frac{8\pi}{3} + 2\pi = -\frac{8\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$.
Полученный угол все еще отрицательный. Прибавим еще один полный оборот:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = -\frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в промежутке $[0, 2\pi)$, и ему соответствует та же точка на единичной окружности, что и углу $-\frac{8\pi}{3}$.
Определим четверть для угла $\frac{4\pi}{3}$. Сравним его с граничными значениями четвертей: $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.
Поскольку $\pi = \frac{3\pi}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{3}$, выполняется неравенство $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$. Следовательно, точка находится в III четверти.
Ответ: III четверть.

в) Чтобы определить четверть для угла $t = \frac{23\pi}{6}$, найдем для него эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, вычитая полные обороты ($2\pi = \frac{12\pi}{6}$).
Вычтем один полный оборот:
$\frac{23\pi}{6} - 2\pi = \frac{23\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
Можно было вычесть и больше оборотов. Например, $2 \cdot 2\pi = 4\pi = \frac{24\pi}{6}$. Тогда $\frac{23\pi}{6} = 4\pi - \frac{\pi}{6}$, что соответствует углу $-\frac{\pi}{6}$. Прибавив $2\pi$, получим тот же результат: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.
Угол $\frac{11\pi}{6}$ находится в промежутке $[0, 2\pi)$.
Определим четверть для угла $\frac{11\pi}{6}$. Сравним его с граничными значениями: $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$.
Поскольку $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$ и $2\pi = \frac{12\pi}{6}$, выполняется неравенство $\frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{6} < 2\pi$. Следовательно, точка находится в IV четверти.
Ответ: IV четверть.

г) Для отрицательного угла $t = -\frac{11\pi}{4}$ найдем соответствующий ему положительный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, прибавляя полные обороты ($2\pi = \frac{8\pi}{4}$).
Прибавим один полный оборот $2\pi$:
$-\frac{11\pi}{4} + 2\pi = -\frac{11\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$.
Результат все еще отрицательный, поэтому прибавим еще один оборот $2\pi$:
$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в промежутке $[0, 2\pi)$ и соответствует той же точке на окружности.
Определим четверть для угла $\frac{5\pi}{4}$. Сравним его с граничными значениями: $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.
Поскольку $\pi = \frac{4\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$, выполняется неравенство $\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$. Следовательно, точка находится в III четверти.
Ответ: III четверть.

6.1 а) $t = 0;$

б) $t = \frac{\pi}{2};$

в) $t = \frac{3\pi}{2};$

г) $t = \pi.$

а) Чтобы найти точку на единичной окружности, соответствующую числу $t$, необходимо определить ее декартовы координаты $(x, y)$, которые вычисляются по формулам $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$. Для $t = 0$ имеем: $x = \cos(0) = 1$ и $y = \sin(0) = 0$. Эта точка является начальной точкой отсчета на окружности и лежит на положительной полуоси абсцисс. Координаты точки: $(1, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$.

б) Для $t = \frac{\pi}{2}$ поворот от начальной точки $(1,0)$ составляет $\frac{\pi}{2}$ радиан (90°) против часовой стрелки. Точка попадает на положительную полуось ординат. Вычисляем ее координаты: $x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Координаты точки: $(0, 1)$.
Ответ: $(0, 1)$.

в) Для $t = \frac{3\pi}{2}$ поворот от начальной точки $(1,0)$ составляет $\frac{3\pi}{2}$ радиан (270°) против часовой стрелки. Точка попадает на отрицательную полуось ординат. Вычисляем ее координаты: $x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ и $y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Координаты точки: $(0, -1)$.
Ответ: $(0, -1)$.

г) Для $t = \pi$ поворот от начальной точки $(1,0)$ составляет $\pi$ радиан (180°) против часовой стрелки. Точка попадает на отрицательную полуось абсцисс. Вычисляем ее координаты: $x = \cos(\pi) = -1$ и $y = \sin(\pi) = 0$. Координаты точки: $(-1, 0)$.
Ответ: $(-1, 0)$.

6.6 a) $\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)+\cos \frac{\pi}{3}+\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right);$

б) $\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{2};$

в) $\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)-\cos (-\pi)+\sin \left(-\frac{3 \pi}{2}\right);$

г) $\sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin \frac{\pi}{2}.$

а)

Для решения данного выражения необходимо использовать свойства чётности и нечётности тригонометрических функций, а также табличные значения тригонометрических функций для стандартных углов.

Выражение: $ \sin(-\frac{\pi}{4}) + \cos\frac{\pi}{3} + \cos(-\frac{\pi}{6}) $

1. Синус является нечётной функцией, поэтому $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Следовательно, $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) $. Табличное значение $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Таким образом, $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

2. Косинус является чётной функцией, поэтому $ \cos(-x) = \cos(x) $. Следовательно, $ \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) $. Табличное значение $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

3. Табличное значение $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $.

4. Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$ \sin(-\frac{\pi}{4}) + \cos\frac{\pi}{3} + \cos(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} $

б)

Для решения данного выражения необходимо найти произведение табличных значений косинусов.

Выражение: $ \cos\frac{\pi}{6} \cdot \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{2} $

1. Найдём значения каждого множителя: $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $; $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $; $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $; $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $.

2. Так как один из множителей равен нулю, всё произведение будет равно нулю.

$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 $

Ответ: $ 0 $

в)

Для решения данного выражения необходимо использовать свойства чётности и нечётности тригонометрических функций и их значения в граничных точках единичной окружности.

Выражение: $ \sin(-\frac{\pi}{2}) - \cos(-\pi) + \sin(-\frac{3\pi}{2}) $

1. Используем свойство нечётности синуса $ \sin(-x) = -\sin(x) $ и свойство чётности косинуса $ \cos(-x) = \cos(x) $. Выражение принимает вид: $ -\sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(\pi) - \sin(\frac{3\pi}{2}) $.

2. Найдём значения тригонометрических функций: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $; $ \cos(\pi) = -1 $; $ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $.

3. Подставляем найденные значения в преобразованное выражение:

$ -(1) - (-1) - (-1) = -1 + 1 + 1 = 1 $

Альтернативный способ для последнего слагаемого: $ \sin(-\frac{3\pi}{2}) = \sin(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $.

Тогда исходное выражение: $ \sin(-\frac{\pi}{2}) - \cos(-\pi) + \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -1 - (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1 $.

Ответ: $ 1 $

г)

Для решения данного выражения необходимо найти произведение табличных значений синусов.

Выражение: $ \sin\frac{\pi}{6} \cdot \sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot \sin\frac{\pi}{2} $

1. Найдём значения каждого множителя: $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $; $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $; $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $; $ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $.

2. Перемножим все значения:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{1 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{8} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{8} $

6.2. а) $t = -2\pi;$

б) $t = -\frac{\pi}{2};$

в) $t = -\frac{3\pi}{2};$

г) $t = -\pi.$

а) $t = -2\pi$

Угол $t = -2\pi$ на единичной окружности соответствует полному обороту по часовой стрелке от начальной точки $(1, 0)$. Конечная точка совпадает с начальной: $(1, 0)$. Координаты этой точки являются значениями косинуса и синуса для данного угла.
$cos(-2\pi) = 1$ (координата x)
$sin(-2\pi) = 0$ (координата y)
Тангенс и котангенс находим по определениям:
$tan(-2\pi) = \frac{sin(-2\pi)}{cos(-2\pi)} = \frac{0}{1} = 0$
$cot(-2\pi) = \frac{cos(-2\pi)}{sin(-2\pi)} = \frac{1}{0}$. Деление на ноль невозможно, значит, котангенс не определен.

Ответ: $sin(-2\pi) = 0$, $cos(-2\pi) = 1$, $tan(-2\pi) = 0$, $cot(-2\pi)$ не определен.

б) $t = -\frac{\pi}{2}$

Угол $t = -\frac{\pi}{2}$ соответствует повороту на четверть оборота ($90^\circ$) по часовой стрелке от начальной точки $(1, 0)$. Мы попадаем в нижнюю точку единичной окружности с координатами $(0, -1)$.
$cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ (координата x)
$sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ (координата y)
Вычисляем тангенс и котангенс:
$tan(-\frac{\pi}{2}) = \frac{sin(-\frac{\pi}{2})}{cos(-\frac{\pi}{2})} = \frac{-1}{0}$. Тангенс не определен.
$cot(-\frac{\pi}{2}) = \frac{cos(-\frac{\pi}{2})}{sin(-\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0$

Ответ: $sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, $cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$, $tan(-\frac{\pi}{2})$ не определен, $cot(-\frac{\pi}{2}) = 0$.

в) $t = -\frac{3\pi}{2}$

Угол $t = -\frac{3\pi}{2}$ соответствует повороту на три четверти оборота ($270^\circ$) по часовой стрелке от точки $(1, 0)$. Это приводит нас в верхнюю точку единичной окружности с координатами $(0, 1)$.
$cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$ (координата x)
$sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$ (координата y)
Вычисляем тангенс и котангенс:
$tan(-\frac{3\pi}{2}) = \frac{sin(-\frac{3\pi}{2})}{cos(-\frac{3\pi}{2})} = \frac{1}{0}$. Тангенс не определен.
$cot(-\frac{3\pi}{2}) = \frac{cos(-\frac{3\pi}{2})}{sin(-\frac{3\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: $sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$, $cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$, $tan(-\frac{3\pi}{2})$ не определен, $cot(-\frac{3\pi}{2}) = 0$.

г) $t = -\pi$

Угол $t = -\pi$ соответствует повороту на половину оборота ($180^\circ$) по часовой стрелке от точки $(1, 0)$. Мы попадаем в крайнюю левую точку единичной окружности с координатами $(-1, 0)$.
$cos(-\pi) = -1$ (координата x)
$sin(-\pi) = 0$ (координата y)
Вычисляем тангенс и котангенс:
$tan(-\pi) = \frac{sin(-\pi)}{cos(-\pi)} = \frac{0}{-1} = 0$
$cot(-\pi) = \frac{cos(-\pi)}{sin(-\pi)} = \frac{-1}{0}$. Котангенс не определен.

Ответ: $sin(-\pi) = 0$, $cos(-\pi) = -1$, $tan(-\pi) = 0$, $cot(-\pi)$ не определен.