Страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3.5 Выясните, существует ли обратная функция для заданной функции. Если да, то задайте обратную функцию аналитически, постройте график заданной и обратной функций:

а) $y = x^2 + 4x - 8, x \in [-3; 0];$

б) $y = x^2 + 4x - 8, x \in (-\infty; -2);$

в) $y = -x^2 + 2x + 6, x \in [0; 3];$

г) $y = -x^2 + 2x + 6, x \in [3; +\infty).$

а) $y = x^2 + 4x - 8, x \in [-3; 0]$

Для существования обратной функции необходимо, чтобы исходная функция была строго монотонной на заданной области определения. Исследуем функцию на монотонность.

Данная функция — квадратичная, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх. Найдём абсциссу вершины параболы:

$x_в = - \frac{b}{2a} = - \frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Координата вершины по оси абсцисс $x = -2$ принадлежит заданному промежутку $[-3; 0]$. Это означает, что на отрезке $[-3; -2]$ функция убывает, а на отрезке $[-2; 0]$ — возрастает. Так как функция не является строго монотонной на всём промежутке $[-3; 0]$, то обратная функция для неё не существует.

Это можно показать, найдя два разных значения аргумента, для которых функция принимает одинаковое значение. Например, $y(-3) = (-3)^2 + 4(-3) - 8 = 9 - 12 - 8 = -11$ и $y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) - 8 = 1 - 4 - 8 = -11$. Поскольку $y(-3) = y(-1)$ при $-3 \neq -1$, функция не является взаимно-однозначной на данном отрезке.

Ответ: Обратная функция не существует.

б) $y = x^2 + 4x - 8, x \in (-\infty; -2)$

Это та же квадратичная функция $y = x^2 + 4x - 8$ с вершиной в точке $x_в = -2$. Заданная область определения $x \in (-\infty; -2)$ — это промежуток слева от вершины параболы. На этом промежутке функция является строго убывающей (её производная $y' = 2x+4$ отрицательна при $x < -2$). Следовательно, обратная функция существует.

Найдём аналитическое выражение для обратной функции. Для этого выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2 + 4x - 8$. Поменяем переменные местами: $x = y^2 + 4y - 8$. Решим это уравнение относительно $y$:

$y^2 + 4y - (x+8) = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(x+8))}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4x + 32}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4x + 48}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{x + 12}}{2} = -2 \pm \sqrt{x + 12}$.

Область определения исходной функции $D(f) = (-\infty; -2)$. Эта область является областью значений для обратной функции, то есть $R(f^{-1}) = (-\infty; -2)$. Из двух полученных вариантов, $y = -2 + \sqrt{x+12}$ (значения $\ge -2$) и $y = -2 - \sqrt{x+12}$ (значения $\le -2$), нам подходит второй, так как он удовлетворяет условию $y < -2$.

Итак, обратная функция: $y = -2 - \sqrt{x + 12}$.

Найдём область определения обратной функции. Она совпадает с областью значений исходной функции. При $x \in (-\infty; -2)$ функция $y = x^2 + 4x - 8$ убывает от $+\infty$ до значения в вершине $y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 8 = -12$. Таким образом, $R(f) = (-12; +\infty)$. Это и есть область определения обратной функции: $D(f^{-1}) = (-12; +\infty)$.

График исходной функции $y = x^2 + 4x - 8$ на $x \in (-\infty; -2)$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(-2, -12)$, ветви которой направлены вверх. График обратной функции $y = -2 - \sqrt{x + 12}$ — это нижняя ветвь параболы с вершиной в точке $(-12, -2)$, ветви которой направлены влево. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция существует, $y = -2 - \sqrt{x + 12}$, её область определения $D(y) = (-12; +\infty)$.

в) $y = -x^2 + 2x + 6, x \in [0; 3]$

Исследуем функцию на монотонность. Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), значит, ветви параболы направлены вниз. Найдём абсциссу вершины:

$x_в = - \frac{b}{2a} = - \frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Абсцисса вершины $x = 1$ принадлежит заданному промежутку $[0; 3]$. На отрезке $[0; 1]$ функция возрастает, а на отрезке $[1; 3]$ — убывает. Поскольку функция не является строго монотонной на всём промежутке $[0; 3]$, обратная функция для неё не существует.

Например, $y(0) = -0^2 + 2(0) + 6 = 6$ и $y(2) = -2^2 + 2(2) + 6 = -4 + 4 + 6 = 6$. Разным значениям аргумента ($0 \neq 2$) соответствует одно и то же значение функции.

Ответ: Обратная функция не существует.

г) $y = -x^2 + 2x + 6, x \in [3; +\infty)$

Это та же парабола $y = -x^2 + 2x + 6$ с вершиной в точке $x_в = 1$. Область определения $x \in [3; +\infty)$ — это промежуток справа от вершины. На этом промежутке функция является строго убывающей (её производная $y' = -2x+2$ отрицательна при $x \ge 3$). Следовательно, обратная функция существует.

Найдём её аналитическое выражение. Поменяем переменные в уравнении $y = -x^2 + 2x + 6$ местами: $x = -y^2 + 2y + 6$. Решим относительно $y$:

$y^2 - 2y + (x - 6) = 0$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (x-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4x + 24}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28 - 4x}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7 - x}}{2} = 1 \pm \sqrt{7 - x}$.

Область определения исходной функции $D(f) = [3; +\infty)$ является областью значений для обратной функции, т.е. $R(f^{-1}) = [3; +\infty)$. Из двух вариантов $y = 1 + \sqrt{7-x}$ (значения $\ge 1$) и $y = 1 - \sqrt{7-x}$ (значения $\le 1$) нам подходит первый, так как только он может давать значения в промежутке $[3; +\infty)$.

Итак, обратная функция: $y = 1 + \sqrt{7 - x}$.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной. На промежутке $[3; +\infty)$ функция $y = -x^2 + 2x + 6$ убывает. Её максимальное значение достигается в точке $x=3$ и равно $y(3) = -3^2 + 2(3) + 6 = 3$. При $x \to +\infty$, $y \to -\infty$. Таким образом, $R(f) = (-\infty; 3]$. Это и есть область определения обратной функции: $D(f^{-1}) = (-\infty; 3]$.

График исходной функции $y = -x^2 + 2x + 6$ на $x \in [3; +\infty)$ — это часть правой ветви параболы, направленной вниз, начинающаяся в точке $(3, 3)$. График обратной функции $y = 1 + \sqrt{7 - x}$ — это часть верхней ветви параболы, направленной влево, которая также проходит через точку $(3, 3)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция существует, $y = 1 + \sqrt{7 - x}$, её область определения $D(y) = (-\infty; 3]$.

1. Сформулируйте определение числовой функции одной переменной.

1. Числовой функцией одной переменной называется правило (или закон соответствия) $f$, согласно которому каждому числу $x$ из некоторого числового множества $D$ ставится в соответствие единственное, вполне определенное число $y$.

При этом используются следующие обозначения и терминология:

Функциональную зависимость записывают как $y = f(x)$.

Множество $D$ всех допустимых значений переменной $x$ называется областью определения функции и обозначается как $D(f)$ или $D_f$. Сама переменная $x$ называется независимой переменной или аргументом.

Множество всех значений, которые принимает переменная $y$, называется областью значений (или множеством значений) функции и обозначается как $E(f)$ или $E_f$. Переменная $y$ называется зависимой переменной или значением функции.

Ключевым свойством функции является однозначность: каждому значению аргумента $x$ из области определения $D(f)$ соответствует ровно одно значение функции $y$. Термин «числовая функция» означает, что как область определения, так и область значений являются подмножествами множества действительных чисел $\mathbb{R}$.

Ответ: Числовая функция одной переменной — это правило, которое каждому числу $x$ из заданного числового множества $D$ (области определения) сопоставляет единственное число $y$ (значение функции).

2. Что такое график функции одной переменной?

Определение

Графиком функции одной переменной $y = f(x)$ называется множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, абсциссы которых ($x$) принадлежат области определения функции, а ординаты ($y$) являются соответствующими им значениями функции. По сути, это визуальное, геометрическое представление функциональной зависимости, которое наглядно показывает, как меняется значение $y$ в ответ на изменение $x$.

Формальная запись

С математической точки зрения, график функции $f$ с областью определения $D(f)$ представляет собой подмножество декартовой плоскости. Он определяется как множество упорядоченных пар:
$G = \{ (x, f(x)) \mid x \in D(f) \}$
Это означает, что для каждой точки на графике ее первая координата (абсцисса $x$) является значением аргумента, а вторая координата (ордината $y$) — это значение функции в этой точке, то есть $y = f(x)$.

Основные свойства и критерии

1. Область определения и область значений. Проекция всех точек графика на ось абсцисс ($Ox$) дает область определения функции $D(f)$, а проекция на ось ординат ($Oy$) — область значений функции $E(f)$.
2. Тест вертикальной линией. Это важнейший критерий, позволяющий определить, является ли некоторая кривая на плоскости графиком функции. Кривая является графиком функции одной переменной тогда и только тогда, когда любая вертикальная прямая (прямая вида $x = c$, где $c$ — константа) пересекает эту кривую не более чем в одной точке. Это свойство напрямую вытекает из определения функции, по которому каждому значению аргумента $x$ из области определения должно соответствовать только одно значение функции $f(x)$.

Пример

Рассмотрим построение графика для функции $y = x^2$.
Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Для построения графика выберем несколько значений $x$ и вычислим для них соответствующие значения $y$:

• при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$; точка $(-2, 4)$
• при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$; точка $(-1, 1)$
• при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$; точка $(0, 0)$
• при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$; точка $(1, 1)$
• при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$; точка $(2, 4)$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим кривую, известную как парабола. Эта парабола и есть график функции $y = x^2$.

Ответ: График функции одной переменной — это множество точек на координатной плоскости, у которых абсциссы (координаты $x$) являются всеми допустимыми значениями аргумента, а ординаты (координаты $y$) — соответствующими значениями функции. Он служит наглядным, геометрическим изображением этой функции.

3. Приведите пример аналитического задания функции (с помощью одной формулы).

Аналитический способ задания функции заключается в том, что зависимость между независимой переменной (аргументом), которую обычно обозначают как $x$, и зависимой переменной (значением функции), которую обозначают как $y$ или $f(x)$, выражается с помощью одной математической формулы. Эта формула позволяет для каждого значения $x$ из области определения функции однозначно вычислить соответствующее значение $y$.

В качестве примера аналитического задания функции можно привести линейную функцию. Она задается формулой общего вида $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые действительные числа, называемые коэффициентами.

Возьмем конкретные значения коэффициентов, например, $k=3$ и $b=-1$. Тогда функция будет задана следующей формулой:

$y = 3x - 1$

Эта формула является правилом, по которому любому значению аргумента $x$ ставится в соответствие единственное значение функции $y$. Например:

• если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$;
• если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$.

Графиком данной функции является прямая линия.

Ответ: $y = 3x - 1$.

4. Приведите пример аналитического задания кусочной функции.

Кусочная функция (или кусочно-заданная функция) — это функция, которая определяется разными формулами на разных участках (интервалах) своей области определения. Аналитическое задание такой функции заключается в том, чтобы указать все эти формулы и для каждой из них указать соответствующий интервал. Для этого обычно используется системная скобка.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть дана функция $y = f(x)$, которая задана следующим образом:

$ f(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x \le 2 \\ 2, & \text{если } x > 2 \end{cases} $

Эта запись означает, что значение функции $f(x)$ зависит от того, в какой из трёх промежутков попадает аргумент $x$. Чтобы найти значение функции в конкретной точке, нужно сначала определить промежуток, а затем применить соответствующую ему формулу.

Например, вычислим значения функции для нескольких точек: чтобы найти $f(-\pi/2)$, мы видим, что $-\pi/2 < 0$, поэтому используем первую формулу: $f(-\pi/2) = \sin(-\pi/2) = -1$. Чтобы найти $f(1)$, мы видим, что $0 \le 1 \le 2$, поэтому используем вторую формулу: $f(1) = 1$. Чтобы найти $f(10)$, мы видим, что $10 > 2$, поэтому используем третью формулу: $f(10) = 2$.

График такой функции будет состоять из трёх частей: части синусоиды $y = \sin(x)$ для отрицательных $x$, отрезка прямой $y = x$ на интервале $[0, 2]$ и горизонтального луча $y = 2$ для $x > 2$.

Ответ: Примером аналитического задания кусочной функции является функция модуля: $ y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases} $. Другой пример: $ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1 \\ 3-2x, & \text{если } x > 1 \end{cases} $.

5. Приведите пример графического задания функции.

Графический способ задания функции — это представление функции с помощью ее графика на координатной плоскости. Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех точек $(x; y)$ координатной плоскости, где абсцисса $x$ пробегает всю область определения функции, а ордината $y$ равна соответствующему значению функции $f(x)$.

Обычно для построения графика используют декартову систему координат с осями $Ox$ (ось абсцисс, на которой откладываются значения аргумента $x$) и $Oy$ (ось ординат, на которой откладываются значения функции $y$).

С помощью графика можно наглядно представить поведение функции: ее возрастание и убывание, нули, точки максимума и минимума, а также находить значения функции для любого значения аргумента из области определения. Главное свойство графика функции заключается в том, что любая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке.

Пример. Рассмотрим функцию, заданную аналитически формулой $y = x^2$. Чтобы задать ее графически, нужно построить ее график — параболу.

Для этого:

1. Создадим набор точек, вычислив значения $y$ для нескольких значений $x$. Например: если $x = -3$, то $y = (-3)^2 = 9$; если $x = -2$, то $y = (-2)^2 = 4$; если $x = -1$, то $y = (-1)^2 = 1$; если $x = 0$, то $y = 0^2 = 0$; если $x = 1$, то $y = 1^2 = 1$; если $x = 2$, то $y = 2^2 = 4$; если $x = 3$, то $y = 3^2 = 9$.

2. На координатной плоскости $xOy$ отметим точки с координатами из этого набора: $(-3; 9)$, $(-2; 4)$, $(-1; 1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 4)$, $(3; 9)$.

3. Соединим эти точки плавной линией. Полученная кривая (парабола) и есть графическое задание функции $y = x^2$.

Имея этот график, мы можем определить значение функции для любого $x$. Например, чтобы найти значение функции при $x=1.5$, мы находим на оси $Ox$ точку $1.5$, проводим вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения проводим горизонтальную линию до оси $Oy$. Значение на оси $Oy$ будет равно $y = (1.5)^2 = 2.25$. Таким образом, график полностью определяет функцию.

Другим примером может служить график изменения температуры воздуха в течение суток. На оси абсцисс откладывается время, а на оси ординат — температура. Такой график задает функцию зависимости температуры от времени, даже если для нее нет простой аналитической формулы.

Ответ: Примером графического задания функции является парабола, построенная в декартовой системе координат, которая представляет функцию $y = x^2$. График — это кривая, проходящая через начало координат, симметричная относительно оси $Oy$, ветви которой направлены вверх. Каждой точке $x$ на горизонтальной оси соответствует единственная точка $y$ на графике, что позволяет однозначно определить значение функции.

6. Приведите пример графика на координатной плоскости, который нельзя считать графическим заданием некоторой функции; объясните почему.

Пример:

В качестве примера графика на координатной плоскости, который нельзя считать графическим заданием некоторой функции, можно взять окружность. Например, окружность с центром в начале координат и радиусом $R$. Уравнение такой окружности имеет вид: $x^2 + y^2 = R^2$.

Объяснение:

Согласно определению, функция — это такое правило или зависимость, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) из области определения ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции $y$).

График окружности нарушает это ключевое требование единственности. Продемонстрируем это на конкретном примере. Возьмем окружность с радиусом $R=5$, которая задается уравнением $x^2 + y^2 = 25$. Область определения для переменной $x$ для этой кривой — это отрезок $[-5, 5]$.

Выберем любое значение $x$ из интервала $(-5, 5)$, например, $x=3$. Подставим его в уравнение окружности, чтобы найти соответствующее значение (или значения) $y$:

$3^2 + y^2 = 25$

$9 + y^2 = 25$

$y^2 = 25 - 9$

$y^2 = 16$

Данное уравнение имеет два различных корня: $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.

Таким образом, мы видим, что одному значению аргумента $x=3$ соответствуют сразу два значения $y$: 4 и -4. Это прямо противоречит определению функции.

Для проверки, является ли график функцией, существует наглядный графический метод — тест вертикальной линией. Если можно провести хотя бы одну вертикальную прямую (вида $x=c$, где $c$ — константа), которая пересекает график более чем в одной точке, то этот график не задает функцию. В нашем случае вертикальная прямая $x=3$ пересекает окружность в двух точках: $(3, 4)$ и $(3, -4)$. Следовательно, окружность не является графиком функции.

Ответ: Примером графика, который не является функцией, служит окружность, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 25$. Она не является графиком функции, так как одному значению аргумента, например $x=3$, соответствуют два значения $y$ ($y=4$ и $y=-4$), что нарушает определение функции, требующее единственности значения $y$ для каждого $x$.

7. Приведите пример словесно заданной функции (отличный от примера на с. 9).

Словесный способ задания функции заключается в том, что правило, устанавливающее зависимость между переменными, описывается словами, а не аналитически (формулой), графически или таблично. Основное требование — каждому значению аргумента из области определения должно соответствовать строго одно значение функции.

Приведем пример такой функции.

Правило: Каждому натуральному числу $x$ ставится в соответствие его последняя цифра.

Это правило задает функцию, так как:
1. Область определения — множество всех натуральных чисел ($D(f) = \mathbb{N}$). Для любого натурального числа существует его последняя цифра.
2. Область значений — множество цифр ($E(f) = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$).
3. Однозначность: Каждому натуральному числу соответствует единственная последняя цифра. Например, у числа 125 последняя цифра только одна — это 5.

Примеры вычисления значений для этой функции, $y=f(x)$:
Если $x = 42$, то $y = 2$.
Если $x = 100$, то $y = 0$.
Если $x = 9$, то $y = 9$.

Ответ: Каждому натуральному числу ставится в соответствие его последняя цифра. Например, для аргумента 347 значением функции будет 7.

8. Как по графику функции найти область её значений? Приведите пример.

Как по графику функции найти область её значений?
Область значений функции, которая обозначается как $E(y)$ или $E(f)$, — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ (ордината). Чтобы найти область значений по графику функции, необходимо мысленно спроецировать все точки этого графика на ось ординат (ось $Oy$). Множество на оси $Oy$, которое будет покрыто этой проекцией, и является областью значений функции.

Для этого можно использовать следующий алгоритм:
1. Найдите самую нижнюю точку на графике. Её ордината (координата по оси $y$) будет наименьшим значением функции ($y_{min}$). Если график уходит вниз на бесконечность, то наименьшего значения не существует.
2. Найдите самую верхнюю точку на графике. Её ордината будет наибольшим значением функции ($y_{max}$). Если график уходит вверх на бесконечность, то наибольшего значения не существует.
3. Определите, принимает ли функция все значения между $y_{min}$ и $y_{max}$. Если график является непрерывной линией между этими крайними точками, то область значений будет сплошным промежутком.
4. Запишите полученное множество значений. Это может быть отрезок $[y_{min}, y_{max}]$, луч $[y_{min}, +\infty)$ или $(-\infty, y_{max}]$, или вся числовая прямая $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: Чтобы найти область значений функции по её графику, нужно спроецировать график на ось ординат ($Oy$) и определить множество всех значений $y$, которые покрывает эта проекция.

Приведите пример.
Рассмотрим график стандартной тригонометрической функции $y = \sin(x)$. Её график называется синусоидой.

Как видно из графика, значения функции колеблются в определённых пределах.

• Самые высокие точки графика (максимумы) имеют ординату 1. Таким образом, $y_{max}=1$.
• Самые низкие точки графика (минимумы) имеют ординату -1. Таким образом, $y_{min}=-1$.

Функция $y=\sin(x)$ является непрерывной, а значит, она принимает все без исключения значения между своим минимумом и максимумом. Если спроецировать синусоиду на ось $Oy$, проекция полностью покроет отрезок от -1 до 1 (на графике выделен красным).

Ответ: Область значений функции $y = \sin(x)$ есть отрезок $E(y) = [-1; 1]$.

9. Как, зная график функции $y = f(x)$, построить график функции $y = f(x) + 3$? $y = f(x) - 2$?

y = f(x) + 3?

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 3$, зная график функции $y = f(x)$, нужно выполнить преобразование, которое называется параллельным переносом (или сдвигом) вдоль оси ординат (оси $Oy$).

Для любого значения аргумента $x$ значение функции $y = f(x) + 3$ будет на 3 единицы больше, чем соответствующее значение функции $y = f(x)$.

Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = f(x)$ переместится в точку $(x_0, y_0 + 3)$. Геометрически это соответствует сдвигу всего графика $y = f(x)$ на 3 единицы вверх.

Ответ: необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

y = f(x) - 2?

Чтобы построить график функции $y = f(x) - 2$, зная график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить аналогичное преобразование — параллельный перенос вдоль оси ординат ($Oy$).

Для любого значения аргумента $x$ значение функции $y = f(x) - 2$ будет на 2 единицы меньше, чем соответствующее значение функции $y = f(x)$.

Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = f(x)$ переместится в точку $(x_0, y_0 - 2)$. Геометрически это соответствует сдвигу всего графика $y = f(x)$ на 2 единицы вниз.

Ответ: необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

10. Как, зная график функции $y = f(x)$, построить график функции $y = f(x + 3)$? $y = f(x - 2)$?

y = f(x + 3)? Чтобы построить график функции $y = f(x + 3)$, зная график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить преобразование, называемое горизонтальным сдвигом (или параллельным переносом вдоль оси абсцисс). Общее правило для преобразования вида $y = f(x - h)$ гласит: график функции $y = f(x)$ сдвигается на $h$ единиц вправо, если $h > 0$, и на $|h|$ единиц влево, если $h < 0$. В нашем случае функция имеет вид $y = f(x + 3)$, что можно записать как $y = f(x - (-3))$. Здесь константа сдвига $h = -3$. Поскольку $h < 0$, сдвиг происходит влево на $|-3| = 3$ единицы. Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = f(x)$ переходит в точку $(x_0 - 3, y_0)$ на новом графике.
Ответ: Для построения графика функции $y = f(x + 3)$ необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox.

y = f(x - 2)? Аналогично первому случаю, для построения графика функции $y = f(x - 2)$ используется преобразование горизонтального сдвига графика $y = f(x)$. Мы имеем дело с преобразованием вида $y = f(x - h)$. В данном случае константа сдвига $h = 2$. Поскольку $h > 0$, сдвиг происходит вправо на $2$ единицы. Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перемещается в точку $(x_0 + 2, y_0)$ на новом графике. Чтобы получить то же значение функции $y_0 = f(x_0)$, на новом графике аргумент должен быть равен $x_0$, то есть $x - 2 = x_0$, откуда $x = x_0 + 2$.
Ответ: Для построения графика функции $y = f(x - 2)$ необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

11. Сколько преобразований над графиком функции $y = f(x)$ надо осуществить, чтобы построить график функции $y = -f(x - 1) - 3$? Назовите эти преобразования и укажите последовательность их применения.

Для построения графика функции $y = -f(x - 1) - 3$ из графика функции $y = f(x)$ необходимо выполнить три последовательных геометрических преобразования. Анализ функции $y = -f(x - 1) - 3$ показывает, какие именно преобразования и в каком порядке следует применить.

Последовательность преобразований:

1. Преобразование аргумента $x \rightarrow x-1$: Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = f(x)$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (Ox). В результате этого шага мы получаем график промежуточной функции $y_1 = f(x-1)$.
2. Умножение функции на -1: Знак "минус" перед $f(x-1)$ означает симметричное отражение графика относительно оси абсцисс (Ox). График функции $y_1 = f(x-1)$ отражается, и мы получаем график функции $y_2 = -f(x-1)$.
3. Вычитание константы 3: Вычитание числа 3 из всей функции означает параллельный перенос (сдвиг) графика на 3 единицы вниз вдоль оси ординат (Oy). График функции $y_2 = -f(x-1)$ сдвигается вниз, и мы получаем итоговый график функции $y = -f(x-1) - 3$.

Таким образом, чтобы построить требуемый график, необходимо выполнить три преобразования: сдвиг вправо, отражение относительно оси Ox и сдвиг вниз.

Ответ: Необходимо осуществить 3 преобразования в следующей последовательности:
1. Параллельный перенос графика функции $y=f(x)$ на 1 единицу вправо.
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox.
3. Параллельный перенос полученного графика на 3 единицы вниз.