Номер 2, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §1. ч. 1 - номер 2, страница 10.

2. Что такое график функции одной переменной?

Определение

Графиком функции одной переменной $y = f(x)$ называется множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, абсциссы которых ($x$) принадлежат области определения функции, а ординаты ($y$) являются соответствующими им значениями функции. По сути, это визуальное, геометрическое представление функциональной зависимости, которое наглядно показывает, как меняется значение $y$ в ответ на изменение $x$.

Формальная запись

С математической точки зрения, график функции $f$ с областью определения $D(f)$ представляет собой подмножество декартовой плоскости. Он определяется как множество упорядоченных пар:
$G = \{ (x, f(x)) \mid x \in D(f) \}$
Это означает, что для каждой точки на графике ее первая координата (абсцисса $x$) является значением аргумента, а вторая координата (ордината $y$) — это значение функции в этой точке, то есть $y = f(x)$.

Основные свойства и критерии

1. Область определения и область значений. Проекция всех точек графика на ось абсцисс ($Ox$) дает область определения функции $D(f)$, а проекция на ось ординат ($Oy$) — область значений функции $E(f)$.
2. Тест вертикальной линией. Это важнейший критерий, позволяющий определить, является ли некоторая кривая на плоскости графиком функции. Кривая является графиком функции одной переменной тогда и только тогда, когда любая вертикальная прямая (прямая вида $x = c$, где $c$ — константа) пересекает эту кривую не более чем в одной точке. Это свойство напрямую вытекает из определения функции, по которому каждому значению аргумента $x$ из области определения должно соответствовать только одно значение функции $f(x)$.

Пример

Рассмотрим построение графика для функции $y = x^2$.
Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Для построения графика выберем несколько значений $x$ и вычислим для них соответствующие значения $y$:

• при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$; точка $(-2, 4)$
• при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$; точка $(-1, 1)$
• при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$; точка $(0, 0)$
• при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$; точка $(1, 1)$
• при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$; точка $(2, 4)$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим кривую, известную как парабола. Эта парабола и есть график функции $y = x^2$.

Ответ: График функции одной переменной — это множество точек на координатной плоскости, у которых абсциссы (координаты $x$) являются всеми допустимыми значениями аргумента, а ординаты (координаты $y$) — соответствующими значениями функции. Он служит наглядным, геометрическим изображением этой функции.