Номер 6, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §1 - номер 6, страница 10.

Условие.

6. Приведите пример графика на координатной плоскости, который нельзя считать графическим заданием некоторой функции; объясните почему.

Решение 6.

Пример:

В качестве примера графика на координатной плоскости, который нельзя считать графическим заданием некоторой функции, можно взять окружность. Например, окружность с центром в начале координат и радиусом $R$. Уравнение такой окружности имеет вид: $x^2 + y^2 = R^2$.

Объяснение:

Согласно определению, функция — это такое правило или зависимость, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) из области определения ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции $y$).

График окружности нарушает это ключевое требование единственности. Продемонстрируем это на конкретном примере. Возьмем окружность с радиусом $R=5$, которая задается уравнением $x^2 + y^2 = 25$. Область определения для переменной $x$ для этой кривой — это отрезок $[-5, 5]$.

Выберем любое значение $x$ из интервала $(-5, 5)$, например, $x=3$. Подставим его в уравнение окружности, чтобы найти соответствующее значение (или значения) $y$:

$3^2 + y^2 = 25$

$9 + y^2 = 25$

$y^2 = 25 - 9$

$y^2 = 16$

Данное уравнение имеет два различных корня: $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.

Таким образом, мы видим, что одному значению аргумента $x=3$ соответствуют сразу два значения $y$: 4 и -4. Это прямо противоречит определению функции.

Для проверки, является ли график функцией, существует наглядный графический метод — тест вертикальной линией. Если можно провести хотя бы одну вертикальную прямую (вида $x=c$, где $c$ — константа), которая пересекает график более чем в одной точке, то этот график не задает функцию. В нашем случае вертикальная прямая $x=3$ пересекает окружность в двух точках: $(3, 4)$ и $(3, -4)$. Следовательно, окружность не является графиком функции.

Ответ: Примером графика, который не является функцией, служит окружность, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 25$. Она не является графиком функции, так как одному значению аргумента, например $x=3$, соответствуют два значения $y$ ($y=4$ и $y=-4$), что нарушает определение функции, требующее единственности значения $y$ для каждого $x$.