Номер 4, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §1. ч. 1 - номер 4, страница 10.

4. Приведите пример аналитического задания кусочной функции.

Кусочная функция (или кусочно-заданная функция) — это функция, которая определяется разными формулами на разных участках (интервалах) своей области определения. Аналитическое задание такой функции заключается в том, чтобы указать все эти формулы и для каждой из них указать соответствующий интервал. Для этого обычно используется системная скобка.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть дана функция $y = f(x)$, которая задана следующим образом:

$ f(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x \le 2 \\ 2, & \text{если } x > 2 \end{cases} $

Эта запись означает, что значение функции $f(x)$ зависит от того, в какой из трёх промежутков попадает аргумент $x$. Чтобы найти значение функции в конкретной точке, нужно сначала определить промежуток, а затем применить соответствующую ему формулу.

Например, вычислим значения функции для нескольких точек: чтобы найти $f(-\pi/2)$, мы видим, что $-\pi/2 < 0$, поэтому используем первую формулу: $f(-\pi/2) = \sin(-\pi/2) = -1$. Чтобы найти $f(1)$, мы видим, что $0 \le 1 \le 2$, поэтому используем вторую формулу: $f(1) = 1$. Чтобы найти $f(10)$, мы видим, что $10 > 2$, поэтому используем третью формулу: $f(10) = 2$.

График такой функции будет состоять из трёх частей: части синусоиды $y = \sin(x)$ для отрицательных $x$, отрезка прямой $y = x$ на интервале $[0, 2]$ и горизонтального луча $y = 2$ для $x > 2$.

Ответ: Примером аналитического задания кусочной функции является функция модуля: $ y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases} $. Другой пример: $ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1 \\ 3-2x, & \text{если } x > 1 \end{cases} $.