Номер 8, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §1 - номер 8, страница 10.

Условие.

8. Как по графику функции найти область её значений? Приведите пример.

Решение 6.

Как по графику функции найти область её значений?
Область значений функции, которая обозначается как $E(y)$ или $E(f)$, — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ (ордината). Чтобы найти область значений по графику функции, необходимо мысленно спроецировать все точки этого графика на ось ординат (ось $Oy$). Множество на оси $Oy$, которое будет покрыто этой проекцией, и является областью значений функции.

Для этого можно использовать следующий алгоритм:
1. Найдите самую нижнюю точку на графике. Её ордината (координата по оси $y$) будет наименьшим значением функции ($y_{min}$). Если график уходит вниз на бесконечность, то наименьшего значения не существует.
2. Найдите самую верхнюю точку на графике. Её ордината будет наибольшим значением функции ($y_{max}$). Если график уходит вверх на бесконечность, то наибольшего значения не существует.
3. Определите, принимает ли функция все значения между $y_{min}$ и $y_{max}$. Если график является непрерывной линией между этими крайними точками, то область значений будет сплошным промежутком.
4. Запишите полученное множество значений. Это может быть отрезок $[y_{min}, y_{max}]$, луч $[y_{min}, +\infty)$ или $(-\infty, y_{max}]$, или вся числовая прямая $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: Чтобы найти область значений функции по её графику, нужно спроецировать график на ось ординат ($Oy$) и определить множество всех значений $y$, которые покрывает эта проекция.

Приведите пример.
Рассмотрим график стандартной тригонометрической функции $y = \sin(x)$. Её график называется синусоидой.

Как видно из графика, значения функции колеблются в определённых пределах.

• Самые высокие точки графика (максимумы) имеют ординату 1. Таким образом, $y_{max}=1$.
• Самые низкие точки графика (минимумы) имеют ординату -1. Таким образом, $y_{min}=-1$.

Функция $y=\sin(x)$ является непрерывной, а значит, она принимает все без исключения значения между своим минимумом и максимумом. Если спроецировать синусоиду на ось $Oy$, проекция полностью покроет отрезок от -1 до 1 (на графике выделен красным).

Ответ: Область значений функции $y = \sin(x)$ есть отрезок $E(y) = [-1; 1]$.