Номер 8, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §1. ч. 1 - номер 8, страница 10.

8. Как по графику функции найти область её значений? Приведите пример.

Как по графику функции найти область её значений?
Область значений функции, которая обозначается как $E(y)$ или $E(f)$, — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ (ордината). Чтобы найти область значений по графику функции, необходимо мысленно спроецировать все точки этого графика на ось ординат (ось $Oy$). Множество на оси $Oy$, которое будет покрыто этой проекцией, и является областью значений функции.

Для этого можно использовать следующий алгоритм:
1. Найдите самую нижнюю точку на графике. Её ордината (координата по оси $y$) будет наименьшим значением функции ($y_{min}$). Если график уходит вниз на бесконечность, то наименьшего значения не существует.
2. Найдите самую верхнюю точку на графике. Её ордината будет наибольшим значением функции ($y_{max}$). Если график уходит вверх на бесконечность, то наибольшего значения не существует.
3. Определите, принимает ли функция все значения между $y_{min}$ и $y_{max}$. Если график является непрерывной линией между этими крайними точками, то область значений будет сплошным промежутком.
4. Запишите полученное множество значений. Это может быть отрезок $[y_{min}, y_{max}]$, луч $[y_{min}, +\infty)$ или $(-\infty, y_{max}]$, или вся числовая прямая $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: Чтобы найти область значений функции по её графику, нужно спроецировать график на ось ординат ($Oy$) и определить множество всех значений $y$, которые покрывает эта проекция.

Приведите пример.
Рассмотрим график стандартной тригонометрической функции $y = \sin(x)$. Её график называется синусоидой.

Как видно из графика, значения функции колеблются в определённых пределах.

• Самые высокие точки графика (максимумы) имеют ординату 1. Таким образом, $y_{max}=1$.
• Самые низкие точки графика (минимумы) имеют ординату -1. Таким образом, $y_{min}=-1$.

Функция $y=\sin(x)$ является непрерывной, а значит, она принимает все без исключения значения между своим минимумом и максимумом. Если спроецировать синусоиду на ось $Oy$, проекция полностью покроет отрезок от -1 до 1 (на графике выделен красным).

Ответ: Область значений функции $y = \sin(x)$ есть отрезок $E(y) = [-1; 1]$.