Номер 2, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §2. ч. 1 - номер 2, страница 19.

2. Как, глядя на график функции, найти промежутки её монотонности? Проиллюстрируйте свой ответ с помощью графика какой-нибудь кусочной функции.

Промежутки монотонности функции — это интервалы, на которых функция либо возрастает, либо убывает, либо является постоянной. Чтобы найти их по графику, нужно мысленно двигаться по оси x слева направо и смотреть, как при этом ведёт себя график функции (значение y).

• Промежуток возрастания: Если при движении слева направо график функции идёт вверх, то на этом промежутке функция возрастает. Формально, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то и $f(x_1) < f(x_2)$.
• Промежуток убывания: Если при движении слева направо график функции идёт вниз, то на этом промежутке функция убывает. Формально, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
• Промежуток постоянства: Если при движении слева направо график функции представляет собой горизонтальную прямую, то на этом промежутке функция постоянна. Формально, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, $f(x_1) = f(x_2)$.

Точки, в которых характер монотонности меняется (например, с возрастания на убывание), называются точками экстремума (максимума или минимума). Эти точки являются границами промежутков монотонности. Принято включать эти точки в промежутки монотонности, если функция в них определена и непрерывна.

Алгоритм поиска промежутков монотонности по графику:

1. Просмотрите график функции слева направо.
2. Найдите все участки, где график "поднимается". Запишите соответствующие им промежутки по оси x — это будут промежутки возрастания.
3. Найдите все участки, где график "опускается". Запишите соответствующие им промежутки по оси x — это будут промежутки убывания.
4. Найдите все участки, где график является горизонтальной линией. Это будут промежутки постоянства.
5. Точки, разделяющие эти участки (вершины и впадины), будут границами промежутков.

Ответ: Чтобы найти промежутки монотонности по графику, необходимо определить интервалы по оси x, на которых график функции непрерывно поднимается (возрастание), опускается (убывание) или остается на одном уровне (постоянство). Границами этих промежутков служат точки экстремумов или точки, где изменяется характер поведения функции.

---

Проиллюстрируем на примере графика кусочной функции.

Рассмотрим график функции $y=f(x)$. Для наглядности участки убывания отмечены красным цветом, участок возрастания — зелёным, а участок постоянства — синим.

Анализ графика:

1. При движении от $x = -\infty$ до $x = -3$ график идёт вниз. Следовательно, на промежутке $(-\infty, -3]$ функция убывает.
2. При $x = -3$ происходит смена поведения (точка локального минимума).
3. На промежутке от $x = -3$ до $x = 1$ график идёт вверх. Следовательно, на промежутке $[-3, 1]$ функция возрастает.
4. При $x=1$ возрастание сменяется постоянством.
5. На промежутке от $x = 1$ до $x = 4$ график представляет собой горизонтальный отрезок. Следовательно, на промежутке $[1, 4]$ функция постоянна.
6. При $x = 4$ постоянство сменяется убыванием.
7. При движении от $x = 4$ до $x = +\infty$ график снова идёт вниз. Следовательно, на промежутке $[4, +\infty)$ функция убывает.

Ответ:

• Промежутки убывания: $(-\infty, -3]$ и $[4, +\infty)$.
• Промежуток возрастания: $[-3, 1]$.
• Промежуток постоянства: $[1, 4]$.