Номер 6, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §2 - номер 6, страница 19.

Условие.

6. Известно, что у функции есть наименьшее значение. Является ли она ограниченной снизу? сверху?

Решение 6.

ограниченной снизу?
Да, функция, имеющая наименьшее значение, всегда является ограниченной снизу.

По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

По условию задачи, у функции есть наименьшее значение. Обозначим это значение как $y_{min}$. Это означает, что существует точка $x_0$ в области определения функции, такая что $f(x_0) = y_{min}$, и для любого другого значения $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \ge y_{min}$.

Сравнивая определение ограниченности снизу и свойство наименьшего значения, мы видим, что неравенство $f(x) \ge y_{min}$ полностью удовлетворяет определению функции, ограниченной снизу. В качестве числа $m$ (нижней границы) можно взять само наименьшее значение $y_{min}$.

Следовательно, наличие у функции наименьшего значения гарантирует, что она ограничена снизу.

Ответ: Да, является.

ограниченной сверху?
Нет, не обязательно. Функция, имеющая наименьшее значение, может быть не ограниченной сверху.

По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Наличие наименьшего значения не накладывает никаких условий на максимальные значения функции. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — функцию, которая имеет наименьшее значение, но не ограничена сверху.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = x^2$:

1. Наличие наименьшего значения: Эта функция имеет наименьшее значение, равное 0, которое достигается в точке $x=0$. Для любого действительного $x$ выполняется $f(x) = x^2 \ge 0$. Таким образом, условие задачи выполнено.

2. Ограниченность сверху: Эта функция не является ограниченной сверху. Ее значения могут быть сколь угодно большими. Например, если мы предположим, что существует некоторое число $M$, ограничивающее функцию сверху, мы всегда можем найти такое значение $x$ (например, $x = \sqrt{|M| + 1}$), что $f(x) = x^2 > M$. Это противоречит определению ограниченности сверху.

Поскольку мы привели пример функции, которая имеет наименьшее значение, но не ограничена сверху, можно сделать вывод, что в общем случае это неверно.

Ответ: Нет, не обязательно.