Номер 9, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §2. ч. 1 - номер 9, страница 19.

9. Какую функцию называют нечётной?

Функцию $y = f(x)$ называют нечётной, если она одновременно удовлетворяет двум условиям:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля. Это означает, что для любого числа $x$, принадлежащего области определения, число $-x$ также принадлежит этой области.

2. Для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Это равенство означает, что при изменении знака аргумента на противоположный, значение функции также меняет свой знак на противоположный.

Свойство нечётности имеет наглядное геометрическое представление. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат — точки $O(0, 0)$. Таким образом, если точка с координатами $(a, b)$ лежит на графике нечётной функции, то и точка с координатами $(-a, -b)$ также обязательно будет лежать на этом графике.

Название «нечётная» связано со свойством степенных функций $y = x^n$. Такая функция является нечётной в том и только в том случае, когда показатель степени $n$ — нечётное целое число. Например, функции $y = x^1$, $y = x^3$, $y = x^5$ являются нечётными.

Примеры других нечётных функций:

• $y = \sin(x)$, так как область определения — все действительные числа (симметрична), и $\sin(-x) = -\sin(x)$.
• $y = \tan(x)$, так как область определения симметрична, и $\tan(-x) = -\tan(x)$.
• $y = \frac{k}{x}$ (при $k \neq 0$), так как область определения $x \neq 0$ симметрична, и $f(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -f(x)$.

Ответ: Нечётной называют функцию $y=f(x)$, определённую на симметричном относительно нуля множестве, для любого $x$ из которого выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.