Номер 4, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §3 - номер 4, страница 23.

Условие.

4. Для всякой ли функции можно найти обратную?

Решение 6.

Нет, не для каждой функции можно найти обратную. Чтобы у функции $y = f(x)$ существовала обратная функция $x = g(y)$, исходная функция $f$ должна быть обратимой. Основное условие обратимости — инъективность (или взаимная однозначность). Это означает, что разным значениям аргумента $x$ должны соответствовать разные значения функции $y$.

Почему инъективность так важна?

Рассмотрим функцию, которая не является инъективной. Например, параболу $y = x^2$, определённую для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$. В этом случае $f(2) = 4$ и $f(-2) = 4$. Если бы для этой функции существовала обратная функция $g(y)$, то чему было бы равно значение $g(4)$? Оно должно было бы равняться одновременно и $2$, и $-2$. Но по определению, функция (включая обратную) не может одному значению своего аргумента ставить в соответствие два разных значения. Возникает противоречие, следовательно, для функции $y=x^2$ на всей области её определения обратной функции не существует.

Какие функции не имеют обратной?

• Функции, у которых для разных значений $x$ получается один и тот же $y$. Классические примеры: $y = x^2$, $y = |x|$, $y = \cos(x)$. Эти функции не являются инъективными на всей своей области определения.

• Постоянные (константные) функции, например $y = 5$. Здесь всем возможным значениям $x$ соответствует одно и то же значение $y$.

Как сделать функцию обратимой?

Часто, чтобы найти обратную функцию, намеренно сужают область определения исходной функции до такого промежутка, на котором она становится инъективной. Достаточным условием инъективности является строгая монотонность функции (т.е. когда она только возрастает или только убывает).

• Для функции $y = x^2$, если рассмотреть её только на промежутке $x \in [0, +\infty)$, то на этом промежутке она строго возрастает и, следовательно, инъективна. Для неё можно найти обратную функцию: $x = \sqrt{y}$.

• Для тригонометрических функций поступают аналогично. Например, для $y=\sin x$ область определения сужают до отрезка $[-\pi/2, \pi/2]$, на котором синус монотонен. Обратной функцией будет $y = \arcsin x$.

Ответ: Нет, обратную функцию можно найти не для всякой функции. Обратная функция существует только для так называемых обратимых (или инъективных) функций, у которых каждому значению из области значений соответствует ровно одно значение из области определения. Примером функции, не имеющей обратной на всей числовой оси, является $y = x^2$, так как, например, значению $y=4$ соответствуют два различных значения $x$: $2$ и $-2$.