Номер 1, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 1 - номер 1, страница 25.

Условие.

1. Функции, с которыми мы встречались в основной школе.

Решение 6.

В курсе математики основной школы (как правило, с 7 по 9 класс) изучаются следующие основные виды числовых функций, их свойства и графики.

Линейная функция

Это функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые заданные числа (коэффициенты). Графиком линейной функции является прямая линия.

• Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Если $k > 0$, функция возрастает; если $k < 0$ — убывает; если $k=0$ — функция постоянна.
• Коэффициент $b$ показывает ординату точки, в которой график пересекает ось $Oy$.

Важными частными случаями линейной функции являются:

• Прямая пропорциональность: $y = kx$ (при $b=0$). График такой функции — прямая, проходящая через начало координат.
• Постоянная функция (константа): $y = b$ (при $k=0$). График — прямая, параллельная оси абсцисс $Ox$.

Ответ: Линейная функция, задаваемая формулой $y = kx + b$, и её частные случаи: прямая пропорциональность ($y=kx$) и постоянная функция ($y=b$).

Квадратичная функция

Это функция, задаваемая формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — заданные числа, и обязательно $a \neq 0$. Графиком квадратичной функции является парабола.

• Знак старшего коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$ — вниз.
• Координаты вершины параболы вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.
• Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции) являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Изучение обычно начинается с простейшего случая $y = x^2$.

Ответ: Квадратичная функция, задаваемая формулой $y = ax^2 + bx + c$ (при $a \neq 0$).

Обратная пропорциональность

Это функция вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — переменная, а $k$ — число, не равное нулю ($k \neq 0$). Графиком этой функции является гипербола, которая состоит из двух ветвей.

• Область определения и область значений этой функции — все действительные числа, кроме нуля: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Если $k > 0$, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях.

Ответ: Функция обратной пропорциональности, задаваемая формулой $y = \frac{k}{x}$ (при $k \neq 0$).

Функция квадратного корня

Функция, которую задают формулой $y = \sqrt{x}$.

• Область определения функции — множество всех неотрицательных чисел: $D(y) = [0; +\infty)$.
• Область значений функции — также множество всех неотрицательных чисел: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Графиком является одна ветвь параболы, которая симметрична графику функции $y = x^2$ (для $x \geq 0$) относительно прямой $y=x$.

Ответ: Функция квадратного корня, задаваемая формулой $y = \sqrt{x}$.

Другие функции

Помимо перечисленных, в основной школе также встречаются и другие функции, часто в контексте построения графиков или решения уравнений:

• Кубическая функция (простейший случай): $y = x^3$. Её график называется кубической параболой.
• Функция модуля: $y = |x|$. График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат и являющихся биссектрисами I и II координатных углов.

Ответ: Другие изучаемые функции включают простейшую кубическую функцию $y=x^3$ и функцию модуля $y=|x|$.