Страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.19 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 5, & \text{если } -4 \le x < 0, \\ 5 - 2x, & \text{если } 0 \le x < 2, \\ \frac{2}{x}, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

a) Найдите $f(-5); f(-3); f(0); f(4)$;

б) постройте график функции;

в) найдите $D(f)$;

г) найдите $E(f)$.

а) Найдите $f(-5); f(-3); f(0); f(4)$

Для нахождения значений функции необходимо определить, для какого из трех промежутков выполняется условие, и подставить значение аргумента в соответствующую формулу.

• Для $f(-5)$: аргумент $x = -5$ не попадает ни в один из заданных промежутков ($[-4, 0)$, $[0, 2)$, $[2, +\infty)$), так как $-5 < -4$. Следовательно, функция в этой точке не определена.

• Для $f(-3)$: аргумент $x = -3$ удовлетворяет условию $-4 \le -3 < 0$. Используем первую формулу $f(x) = x^2 + 4x + 5$:
  $f(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$.

• Для $f(0)$: аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $0 \le 0 < 2$. Используем вторую формулу $f(x) = 5 - 2x$:
  $f(0) = 5 - 2(0) = 5$.

• Для $f(4)$: аргумент $x = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 2$. Используем третью формулу $f(x) = \frac{2}{x}$:
  $f(4) = \frac{2}{4} = 0.5$.

Ответ: $f(-5)$ не определена; $f(-3) = 2$; $f(0) = 5$; $f(4) = 0.5$.

б) постройте график функции

График функции строится по частям, для каждого промежутка отдельно.

1. На промежутке $[-4, 0)$ график функции $y = x^2 + 4x + 5$ является частью параболы с ветвями вверх. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$, $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 1$. Вершина $(-2, 1)$ принадлежит данному промежутку. Значения на концах промежутка: $f(-4) = 5$ (точка $(-4, 5)$ закрашенная), $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 5$ (точка $(0, 5)$ выколотая).

2. На промежутке $[0, 2)$ график функции $y = 5 - 2x$ является отрезком прямой. Значения на концах промежутка: $f(0) = 5$ (точка $(0, 5)$ закрашенная), $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$ (точка $(2, 1)$ выколотая). Заметим, что в точке $x=0$ функция непрерывна.

3. На промежутке $[2, +\infty)$ график функции $y = \frac{2}{x}$ является частью гиперболы. Значение в начальной точке: $f(2) = \frac{2}{2} = 1$ (точка $(2, 1)$ закрашенная). При $x \to +\infty$, $y \to 0$. В точке $x=2$ функция также непрерывна.

В результате получаем непрерывный график, состоящий из фрагмента параболы, отрезка прямой и ветви гиперболы.

Ответ: График функции представляет собой кривую, состоящую из трех частей: 1) Часть параболы $y = x^2 + 4x + 5$ с вершиной в $(-2, 1)$, начинающаяся в точке $(-4, 5)$ и заканчивающаяся в точке $(0, 5)$. 2) Отрезок прямой $y = 5 - 2x$, соединяющий точки $(0, 5)$ и $(2, 1)$. 3) Часть гиперболы $y = \frac{2}{x}$, начинающаяся в точке $(2, 1)$ и асимптотически приближающаяся к оси $Ox$ при $x \to +\infty$.

в) найдите $D(f)$

Область определения функции $D(f)$ есть объединение всех промежутков, на которых она задана:

$D(f) = [-4, 0) \cup [0, 2) \cup [2, +\infty)$.

Объединение этих множеств дает непрерывный промежуток, начинающийся с $-4$.

Ответ: $D(f) = [-4, +\infty)$.

г) найдите $E(f)$

Область значений функции $E(f)$ есть объединение множеств значений, которые функция принимает на каждом из трех промежутков.

• На $[-4, 0)$: функция $y = x^2 + 4x + 5$ имеет минимум в вершине $y(-2)=1$ и достигает максимума $y(-4)=5$. Область значений на этом участке: $[1, 5]$.

• На $[0, 2)$: функция $y = 5 - 2x$ линейно убывает от $y(0)=5$ до значения, к которому она стремится при $x \to 2$, то есть до $1$. Область значений на этом участке: $(1, 5]$.

• На $[2, +\infty)$: функция $y = \frac{2}{x}$ убывает от $y(2)=1$ и асимптотически стремится к $0$. Область значений на этом участке: $(0, 1]$.

Общая область значений $E(f)$ является объединением полученных множеств:

$E(f) = [1, 5] \cup (1, 5] \cup (0, 1] = (0, 5]$.

Ответ: $E(f) = (0, 5]$.

2.2 а) $y = 2x^3 - 3;$

б) $y = 7 - \frac{x^3}{2};$

в) $y = \frac{2}{3} - x^3;$

г) $y = 4 + x^3.$

Для нахождения производных данных функций будем использовать основные правила дифференцирования:

• Производная константы: $(C)' = 0$
• Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$
• Правило вынесения константы за знак производной: $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$
• Производная суммы и разности: $(u \pm v)' = u' \pm v'$

а) Дана функция $y = 2x^3 - 3$.

Применяем правило нахождения производной разности, правило вынесения константы за знак производной и формулу производной степенной функции.

$y' = (2x^3 - 3)' = (2x^3)' - (3)' = 2 \cdot (x^3)' - 0 = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$.

Ответ: $y' = 6x^2$.

б) Дана функция $y = 7 - \frac{x^3}{2}$.

Представим функцию в виде $y = 7 - \frac{1}{2}x^3$ и применим те же правила дифференцирования.

$y' = (7 - \frac{1}{2}x^3)' = (7)' - (\frac{1}{2}x^3)' = 0 - \frac{1}{2} \cdot (x^3)' = -\frac{1}{2} \cdot 3x^{3-1} = -\frac{3}{2}x^2$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{2}x^2$.

в) Дана функция $y = \frac{2}{3} - x^3$.

Находим производную, применяя правила для разности, константы и степенной функции.

$y' = (\frac{2}{3} - x^3)' = (\frac{2}{3})' - (x^3)' = 0 - 3x^{3-1} = -3x^2$.

Ответ: $y' = -3x^2$.

г) Дана функция $y = 4 + x^3$.

Применяем правило нахождения производной суммы.

$y' = (4 + x^3)' = (4)' + (x^3)' = 0 + 3x^{3-1} = 3x^2$.

Ответ: $y' = 3x^2$.

2.3 a) $y = x^2 + 2x + 1, x \ge -1;$

б) $y = \frac{1}{x+2}, x < -2;$

В) $y = -x^2 + 6x - 12, x \ge 3;$

Г) $y = \frac{-2}{x+5}, x > -5.$

а)

Заданная функция $y = x^2 + 2x + 1$ является квадратичной. Выражение $x^2 + 2x + 1$ представляет собой полный квадрат двучлена, поэтому функцию можно записать в виде $y = (x+1)^2$.

График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Координаты вершины параболы можно найти из вида $y=a(x-x_0)^2+y_0$. В нашем случае вершина находится в точке, где $x+1=0$, то есть $x = -1$. Значение функции в этой точке равно $y = (-1+1)^2 = 0$. Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(-1, 0)$.

По условию, область определения функции ограничена неравенством $x \ge -1$. Это означает, что мы рассматриваем ту часть параболы, которая начинается в ее вершине и продолжается вправо. Поскольку вершина является точкой минимума для данной параболы, наименьшее значение функции равно 0. При увеличении $x$ от -1, значение $y$ будет неограниченно возрастать.

Следовательно, множество значений функции — это все числа от 0 включительно и до бесконечности.

Ответ: множество значений функции $y \ge 0$, или в виде интервала $[0; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \frac{1}{x+2}$ с областью определения $x < -2$.

Это рациональная функция, график которой — гипербола, полученная смещением графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы влево. Вертикальная асимптота графика — прямая $x = -2$, а горизонтальная — $y = 0$.

Согласно условию $x < -2$, мы рассматриваем левую ветвь гиперболы. Для любого значения $x$ из этого промежутка, знаменатель $x+2$ будет отрицательным. Так как числитель равен 1 (положительное число), то значение всей дроби $y$ будет всегда отрицательным.

Рассмотрим поведение функции на границах области определения:

• При $x$, стремящемся к -2 слева ($x \to -2^-$), знаменатель $x+2$ стремится к 0, оставаясь отрицательным. Следовательно, $y \to -\infty$.
• При $x$, стремящемся к $-\infty$, знаменатель $x+2$ также стремится к $-\infty$, а значение функции $y$ стремится к 0, оставаясь отрицательным ($y \to 0^-$).

Таким образом, функция принимает все возможные отрицательные значения.

Ответ: множество значений функции $y < 0$, или в виде интервала $(-\infty; 0)$.

в)

Дана квадратичная функция $y = -x^2 + 6x - 12$ при условии $x \ge 3$.

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1$). Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_в=3$ в уравнение функции: $y_в = -(3)^2 + 6(3) - 12 = -9 + 18 - 12 = -3$. Итак, вершина параболы находится в точке $(3, -3)$.

Область определения функции задана как $x \ge 3$. Это означает, что мы рассматриваем правую ветвь параболы, начиная с ее вершины. Поскольку ветви параболы направлены вниз, вершина является точкой максимума. Максимальное значение функции равно -3 и достигается при $x=3$. При увеличении $x$ от 3, значения $y$ будут уменьшаться.

Следовательно, множество значений функции — это все числа от $-\infty$ до -3 включительно.

Ответ: множество значений функции $y \le -3$, или в виде интервала $(-\infty; -3]$.

г)

Дана функция $y = \frac{-2}{x+5}$ с областью определения $x > -5$.

Это рациональная функция, график которой — гипербола. Вертикальная асимптота — прямая $x=-5$, горизонтальная — $y=0$.

Согласно условию $x > -5$, мы рассматриваем правую ветвь гиперболы. Для любого $x$ из этого промежутка, знаменатель $x+5$ будет положительным. Поскольку числитель равен -2 (отрицательное число), значение функции $y$ будет всегда отрицательным.

Рассмотрим поведение функции на границах области определения:

• При $x$, стремящемся к -5 справа ($x \to -5^+$), знаменатель $x+5$ стремится к 0, оставаясь положительным. Следовательно, $y \to -\infty$.
• При $x$, стремящемся к $+\infty$, знаменатель $x+5$ также стремится к $+\infty$, а значение функции $y$ стремится к 0, оставаясь отрицательным ($y \to 0^-$).

Таким образом, функция принимает все возможные отрицательные значения.

Ответ: множество значений функции $y < 0$, или в виде интервала $(-\infty; 0)$.

2.4 а) $y = x^3 + 2x;$

б) $y = 5 - x^3 - 6x^9;$

В) $y = 4 - x^5;$

Г) $y = x^7 + x^5 - 3.$

а) $y = x^3 + 2x$

Для нахождения производной функции $y'$ используем правила дифференцирования. Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $(u+v)' = u' + v'$. Также нам понадобятся правило производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

Применим эти правила к нашей функции:

$y' = (x^3 + 2x)' = (x^3)' + (2x)'$

Найдем производную каждого слагаемого:

$(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$

$(2x)' = 2 \cdot (x^1)' = 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 2x^0 = 2 \cdot 1 = 2$

Теперь сложим полученные результаты:

$y' = 3x^2 + 2$

Ответ: $y' = 3x^2 + 2$.

б) $y = 5 - x^3 - 6x^9$

Для нахождения производной $y'$ используем правило дифференцирования суммы/разности функций: $(u \pm v)' = u' \pm v'$. Также используем правило производной константы $(c)' = 0$ и правило производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (5 - x^3 - 6x^9)' = (5)' - (x^3)' - (6x^9)'$

Найдем производную каждого члена по отдельности:

Производная от константы 5 равна нулю: $(5)' = 0$.

Производная от $x^3$: $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Производная от $6x^9$: $(6x^9)' = 6 \cdot (x^9)' = 6 \cdot 9x^{9-1} = 54x^8$.

Теперь объединим результаты с учетом знаков:

$y' = 0 - 3x^2 - 54x^8 = -3x^2 - 54x^8$.

Ответ: $y' = -3x^2 - 54x^8$.

в) $y = 4 - x^5$

Применяем правило производной разности, производной константы и производной степенной функции.

$y' = (4 - x^5)' = (4)' - (x^5)'$

Производная от константы 4 равна нулю: $(4)' = 0$.

Производная от $x^5$: $(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

Вычитаем второе из первого:

$y' = 0 - 5x^4 = -5x^4$.

Ответ: $y' = -5x^4$.

г) $y = x^7 + x^5 - 3$

Используем те же правила дифференцирования для нахождения производной этой функции.

$y' = (x^7 + x^5 - 3)' = (x^7)' + (x^5)' - (3)'$

Находим производные для каждого члена:

Производная от $x^7$: $(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.

Производная от $x^5$: $(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

Производная от константы 3 равна нулю: $(3)' = 0$.

Складываем и вычитаем полученные результаты:

$y' = 7x^6 + 5x^4 - 0 = 7x^6 + 5x^4$.

Ответ: $y' = 7x^6 + 5x^4$.

2.1 а) $y = 8x + 3$;

б) $y = 5 - 2x$;

В) $y = \frac{x}{3} + 1$;

Г) $y = \frac{1}{3} - \frac{2x}{5}$.

Задача заключается в нахождении производной для каждой из представленных функций. Производная функции $y = f(x)$ обозначается как $y'$ или $\frac{dy}{dx}$ и показывает скорость изменения функции.

Для решения будем использовать основные правила дифференцирования:

• Производная константы: $(c)' = 0$
• Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$. В частном случае, $(x)'=1$.
• Производная функции, умноженной на константу: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$. Отсюда следует, что $(kx)' = k$.
• Производная суммы/разности функций: $(u \pm v)' = u' \pm v'$.

Все представленные функции являются линейными и имеют общий вид $y = kx + b$. Производная такой функции всегда равна ее угловому коэффициенту $k$, так как $y' = (kx + b)' = (kx)' + (b)' = k + 0 = k$.

а) $y = 8x + 3$

Для нахождения производной данной функции применим правило дифференцирования суммы и основные формулы.

$y' = (8x + 3)' = (8x)' + (3)'$

Производная от слагаемого $8x$ равна коэффициенту при $x$, то есть $8$. Производная от константы $3$ равна нулю.

$y' = 8 + 0 = 8$

Ответ: $y' = 8$

б) $y = 5 - 2x$

Для нахождения производной применим правило дифференцирования разности. Удобно представить функцию в стандартном виде $y = -2x + 5$.

$y' = (5 - 2x)' = (5)' - (2x)'$

Производная от константы $5$ равна нулю. Производная от слагаемого $2x$ равна $2$.

$y' = 0 - 2 = -2$

Ответ: $y' = -2$

в) $y = \frac{x}{3} + 1$

Данную функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{3}x + 1$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{3}$.

Находим производную как производную суммы:

$y' = (\frac{1}{3}x + 1)' = (\frac{1}{3}x)' + (1)'$

Производная от слагаемого $\frac{1}{3}x$ равна $\frac{1}{3}$. Производная от константы $1$ равна нулю.

$y' = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}$

Ответ: $y' = \frac{1}{3}$

г) $y = \frac{1}{3} - \frac{2x}{5}$

Перепишем функцию в стандартном виде $y = -\frac{2}{5}x + \frac{1}{3}$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -\frac{2}{5}$.

Находим производную как производную разности:

$y' = (\frac{1}{3} - \frac{2}{5}x)' = (\frac{1}{3})' - (\frac{2}{5}x)'$

Производная от константы $\frac{1}{3}$ равна нулю. Производная от слагаемого $\frac{2}{5}x$ равна $\frac{2}{5}$.

$y' = 0 - \frac{2}{5} = -\frac{2}{5}$

Ответ: $y' = -\frac{2}{5}$