Страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2.7 а) $y = \sqrt{-x^2 + 4x - 5}$;

б) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 4x + 1}{5}}$;

В) $y = \sqrt{-2x^2 + 8x + 9}$;

Г) $y = \sqrt{\frac{5}{2x^2 - 4x + 2}}$.

а) $y = \sqrt{-x^2 + 4x - 5}$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения:

$-x^2 + 4x - 5 \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства рассмотрим функцию $f(x) = -x^2 + 4x - 5$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1$).

Найдем нули функции, решив уравнение $-x^2 + 4x - 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-1)(-5) = 16 - 20 = -4$

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс. Так как ветви параболы направлены вниз, она полностью расположена под осью абсцисс. Таким образом, выражение $-x^2 + 4x - 5$ всегда отрицательно для любого действительного значения $x$.

Следовательно, неравенство $-x^2 + 4x - 5 \ge 0$ не имеет решений.

Ответ: $D(y) = \varnothing$.

б) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 4x + 1}{5}}$

Область определения функции задается условием:

$\frac{x^2 - 4x + 1}{5} \ge 0$

Так как знаменатель 5 — положительное число, неравенство равносильно следующему:

$x^2 - 4x + 1 \ge 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 4x + 1$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 1 > 0$).

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Получаем два корня: $x_1 = 2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{3}$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, квадратичный трехчлен $x^2 - 4x + 1$ принимает неотрицательные значения при $x \le x_1$ или $x \ge x_2$.

Таким образом, область определения функции — это объединение двух промежутков.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2 - \sqrt{3}] \cup [2 + \sqrt{3}; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{-2x^2 + 8x + 9}$

Область определения функции определяется условием:

$-2x^2 + 8x + 9 \ge 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = -2x^2 + 8x + 9$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -2 < 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $-2x^2 + 8x + 9 = 0$. Для удобства вычислений умножим уравнение на -1: $2x^2 - 8x - 9 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(2)(-9) = 64 + 72 = 136$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{136}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 34}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{34}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{34}}{2}$

Корни: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{34}}{2}$ и $x_2 = \frac{4 + \sqrt{34}}{2}$.

Так как ветви параболы $f(x) = -2x^2 + 8x + 9$ направлены вниз, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями, то есть при $x \in [x_1, x_2]$.

Ответ: $D(y) = [\frac{4 - \sqrt{34}}{2}; \frac{4 + \sqrt{34}}{2}]$.

г) $y = \sqrt{\frac{5}{2x^2 - 4x + 2}}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$\frac{5}{2x^2 - 4x + 2} \ge 0$

Так как числитель 5 — положительное число, для выполнения этого неравенства знаменатель также должен быть положительным (он не может быть равен нулю, так как находится в знаменателе).

$2x^2 - 4x + 2 > 0$

Решим это неравенство. Разделим обе части на 2:

$x^2 - 2x + 1 > 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x-1)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Выражение $(x-1)^2$ равно нулю только при $x-1=0$, то есть при $x=1$. Во всех остальных случаях $(x-1)^2$ строго больше нуля.

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Постройте и прочитайте график функции:

2.12 $y = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x < 0, \\ 3\sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения и анализа ее графика рассмотрим каждую часть отдельно.

Функция задана как:$y = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x < 0 \\ 3\sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика

1. Построим график функции $y = \frac{3}{x}$ на промежутке $x < 0$. Это ветвь гиперболы, расположенная в III координатной четверти. Ось $y$ является вертикальной асимптотой, а ось $x$ — горизонтальной асимптотой. Составим таблицу нескольких ключевых точек:

2. Построим график функции $y = 3\sqrt{x}$ на промежутке $x \ge 0$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в I координатной четверти. Составим таблицу нескольких ключевых точек:

3. Объединим оба графика в одной системе координат. В результате получим график исходной функции. Он состоит из ветви гиперболы в третьей четверти и ветви параболы, начинающейся в точке (0,0) и идущей в первую четверть. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

Свойства функции (чтение графика)

1. Область определения функции

   Функция определена для $x < 0$ (где задана формула $y=3/x$) и для $x \ge 0$ (где задана формула $y=3\sqrt{x}$). Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.

   Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений функции

   При $x < 0$ функция $y=3/x$ принимает все отрицательные значения, т.е. $y \in (-\infty; 0)$. При $x \ge 0$ функция $y=3\sqrt{x}$ принимает все неотрицательные значения, т.е. $y \in [0; +\infty)$. Объединение этих двух множеств дает множество всех действительных чисел.

   Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции

   Для нахождения нулей функции решим уравнение $y=0$.
   На промежутке $x < 0$ уравнение $\frac{3}{x} = 0$ не имеет решений.
   На промежутке $x \ge 0$ уравнение $3\sqrt{x} = 0$ имеет единственный корень $x=0$.
   Следовательно, у функции один нуль.

   Ответ: $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства

   $y > 0$ при $3\sqrt{x} > 0$, что выполняется для $x > 0$.
   $y < 0$ при $\frac{3}{x} < 0$, что выполняется для $x < 0$.

   Ответ: функция положительна при $x \in (0; +\infty)$, функция отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания)

   На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y=3/x$ (гипербола с $k=3>0$) убывает.
   На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y=3\sqrt{x}$ возрастает.

   Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.

6. Точки экстремума и экстремумы функции

   В точке $x=0$ убывание функции сменяется возрастанием, следовательно, $x=0$ — точка минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = 3\sqrt{0} = 0$.

   Ответ: $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$.

7. Четность и нечетность функции

   Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим выполнение равенств $y(-x)=y(x)$ или $y(-x)=-y(x)$.
   Возьмем $x=4$. $y(4) = 3\sqrt{4} = 6$.
   $y(-4) = \frac{3}{-4} = -0.75$.
   Так как $y(-4) \neq y(4)$ и $y(-4) \neq -y(4)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

   Ответ: функция общего вида.

8. Непрерывность

   Функция непрерывна на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[0; +\infty)$ как элементарная. Исследуем точку "стыка" $x=0$.
   Найдем односторонние пределы в этой точке:
   Левосторонний предел: $\lim_{x\to 0^-} y(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{3}{x} = -\infty$.
   Значение функции в точке: $y(0) = 3\sqrt{0} = 0$.
   Так как левосторонний предел равен бесконечности, в точке $x=0$ функция терпит разрыв второго рода.

   Ответ: функция непрерывна на объединении промежутков $(-\infty; 0) \cup [0; +\infty)$. В точке $x=0$ она имеет разрыв второго рода.

2.8 а) $y = 3 - 2x, x \in [-1; 3];$

б) $y = -2x^2 + 2x, x \in [-3; 2];$

В) $y = 3 - 4x, x \in (-\infty; 3];$

Г) $y = x^2 + 4x + 5, x \in (0; 1].$

а) Функция $y = 3 - 2x$ является линейной, её график — прямая. Коэффициент при $x$ равен $-2$, он отрицательный, следовательно, функция является убывающей на всей области определения. Чтобы найти область значений на отрезке $x \in [-1; 3]$, нужно найти значения функции на концах этого отрезка. Наибольшее значение будет в левой точке, а наименьшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x = -1$: $y(-1) = 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$. Это наибольшее значение функции на отрезке.

При $x = 3$: $y(3) = 3 - 2(3) = 3 - 6 = -3$. Это наименьшее значение функции на отрезке.

Таким образом, область значений функции на отрезке $[-1; 3]$ — это все значения от $-3$ до $5$ включительно.

Ответ: $E(y) = [-3; 5]$.

б) Функция $y = -2x^2 + 2x$ является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{2}{2(-2)} = -\frac{2}{-4} = 0.5$.

Поскольку $x_в = 0.5$ принадлежит отрезку $[-3; 2]$, наибольшее значение функции на этом отрезке будет в вершине.

Найдем ординату вершины (наибольшее значение функции):

$y_{наиб} = y(0.5) = -2(0.5)^2 + 2(0.5) = -2(0.25) + 1 = -0.5 + 1 = 0.5$.

Наименьшее значение на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах отрезка $[-3; 2]$:

$y(-3) = -2(-3)^2 + 2(-3) = -2(9) - 6 = -18 - 6 = -24$.

$y(2) = -2(2)^2 + 2(2) = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4$.

Сравнивая эти значения, находим наименьшее: $y_{наим} = -24$.

Область значений функции — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения.

Ответ: $E(y) = [-24; 0.5]$.

в) Функция $y = 3 - 4x$ является линейной, убывающей, так как коэффициент при $x$ отрицателен ($-4$). Функция рассматривается на промежутке $x \in (-\infty; 3]$.

Поскольку функция убывающая, наименьшее значение на заданном промежутке она будет принимать в точке с наибольшим значением $x$, то есть при $x = 3$.

$y_{наим} = y(3) = 3 - 4(3) = 3 - 12 = -9$.

Так как $x$ может принимать сколь угодно малые (сколь угодно большие по модулю отрицательные) значения, то значение $y$ может быть сколь угодно большим:

$\lim_{x \to -\infty} (3 - 4x) = +\infty$.

Таким образом, функция не ограничена сверху. Область значений — это все числа от $-9$ включительно до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = [-9; +\infty)$.

г) Функция $y = x^2 + 4x + 5$ является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положительный, значит, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функция принимает в вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(1)} = -2$.

Абсцисса вершины $x_в = -2$ не принадлежит заданному промежутку $x \in (0; 1]$. На промежутке $(-\infty; -2]$ функция убывает, а на промежутке $[-2; +\infty)$ — возрастает. Так как наш промежуток $(0; 1]$ целиком лежит правее вершины, функция на нем является возрастающей.

Для возрастающей функции на интервале $(a; b]$ область значений будет $(y(a); y(b)]$.

Найдем значения функции на границах промежутка $(0; 1]$:

При $x \to 0$ (слева интервал открытый): $y(0) = 0^2 + 4(0) + 5 = 5$. Это значение не включается в область значений.

При $x = 1$ (справа интервал закрытый): $y(1) = 1^2 + 4(1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10$. Это значение включается в область значений и является наибольшим.

Следовательно, область значений функции на данном промежутке — это все значения от $5$ (не включая) до $10$ (включая).

Ответ: $E(y) = (5; 10]$.

2.9 a) $y = \sqrt{x}$, $x \in [2; +\infty)$;

Б) $y = -\sqrt{x}$, $x \in [1; 9];

В) $y = \sqrt{x}$, $x \in [1,44; 6,25];

Г) $y = -\sqrt{x}$, $x \in (0; 1,69]$.

Для нахождения множества значений функции (области значений) на заданном промежутке необходимо проанализировать ее поведение (возрастание или убывание) и вычислить значения на границах этого промежутка.

Дана функция $y = \sqrt{x}$ на промежутке $x \in [2; +\infty)$.

Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается.

Следовательно, наименьшее значение функция примет в наименьшей точке заданного промежутка, то есть при $x = 2$.

$y_{min} = y(2) = \sqrt{2}$

Поскольку $x$ может принимать сколь угодно большие значения ($x \to +\infty$), значение функции $y$ также будет неограниченно возрастать ($y \to +\infty$).

Таким образом, область значений функции на заданном промежутке начинается от $\sqrt{2}$ (включительно) и уходит в бесконечность.

Ответ: $E(y) = [\sqrt{2}; +\infty)$.

Дана функция $y = -\sqrt{x}$ на отрезке $x \in [1; 9]$.

Функция $y = -\sqrt{x}$ является монотонно убывающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ уменьшается.

Следовательно, наибольшее значение функция примет в наименьшей точке отрезка ($x=1$), а наименьшее — в наибольшей ($x=9$).

$y_{max} = y(1) = -\sqrt{1} = -1$

$y_{min} = y(9) = -\sqrt{9} = -3$

Так как функция непрерывна на отрезке $[1; 9]$, она принимает все значения между $y_{min}$ и $y_{max}$.

Ответ: $E(y) = [-3; -1]$.

Дана функция $y = \sqrt{x}$ на отрезке $x \in [1,44; 6,25]$.

Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей. Поэтому наименьшее значение функции будет соответствовать наименьшему значению аргумента, а наибольшее — наибольшему.

Найдем значения функции на границах отрезка:

$y_{min} = y(1,44) = \sqrt{1,44} = 1,2$

$y_{max} = y(6,25) = \sqrt{6,25} = 2,5$

Область значений функции — это отрезок между этими значениями.

Ответ: $E(y) = [1,2; 2,5]$.

Дана функция $y = -\sqrt{x}$ на полуинтервале $x \in (0; 1,69]$.

Функция $y = -\sqrt{x}$ является убывающей. Следовательно, наименьшее значение функции будет соответствовать наибольшему значению аргумента, а наибольшее значение функции — наименьшему значению аргумента.

Наибольшее значение аргумента в промежутке равно $1,69$ (точка включена). В этой точке функция примет свое наименьшее значение:

$y_{min} = y(1,69) = -\sqrt{1,69} = -1,3$

Наименьшее значение аргумента в промежутке не достигается, $x$ только стремится к $0$ справа ($x \to 0^+$). Соответственно, значение функции $y$ будет стремиться к своему предельному значению, которое будет верхней границей для области значений:

$\lim_{x\to 0^+} (-\sqrt{x}) = -\sqrt{0} = 0$

Поскольку $x > 0$, то $\sqrt{x} > 0$, и $-\sqrt{x} < 0$. Таким образом, значение $y=0$ не достигается.

Область значений — это полуинтервал от $-1,3$ (включительно) до $0$ (не включая).

Ответ: $E(y) = [-1,3; 0)$.

2.5 a) $y = \sqrt{x^3 + 1}$;

б) $y = 5 - x^5 - \sqrt{2x^3}$;

В) $y = 2 - \sqrt{x}$;

Г) $y = \sqrt{x^7 + x - 1}$.

а) $y = \sqrt{x^3 + 1}$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом) и правилом дифференцирования степенной функции.

Представим функцию в виде $y = (x^3 + 1)^{1/2}$.

Производная сложной функции $(f(g(x)))'$ находится по формуле $f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $f(u) = u^{1/2}$, а внутренняя функция $g(x) = x^3 + 1$.

Найдем производные этих функций:

$f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$g'(x) = (x^3 + 1)' = (x^3)' + (1)' = 3x^2 + 0 = 3x^2$

Теперь подставим наши функции и их производные в формулу цепного правила:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot (3x^2)$

Упростим выражение:

$y' = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}$

Ответ: $y' = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}$

б) $y = 5 - x^5 - \sqrt{2x^3}$

Для нахождения производной будем использовать правило дифференцирования разности и правило дифференцирования степенной функции.

Перепишем функцию для удобства дифференцирования: $y = 5 - x^5 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^3} = 5 - x^5 - \sqrt{2}x^{3/2}$.

Производная разности функций равна разности их производных: $(u(x) - v(x) - w(x))' = u'(x) - v'(x) - w'(x)$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

$(5)' = 0$ (производная константы).

$(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$ (производная степенной функции).

$(\sqrt{2}x^{3/2})' = \sqrt{2} \cdot (x^{3/2})' = \sqrt{2} \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} = \frac{3\sqrt{2}}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\sqrt{x}$.

Теперь объединим результаты:

$y' = 0 - 5x^4 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\sqrt{x} = -5x^4 - \frac{3\sqrt{2x}}{2}$

Ответ: $y' = -5x^4 - \frac{3\sqrt{2x}}{2}$

в) $y = 2 - \sqrt{x}$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности и правило дифференцирования степенной функции.

Представим функцию в виде $y = 2 - x^{1/2}$.

Находим производную каждого слагаемого:

$(2)' = 0$ (производная константы).

$(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Следовательно, производная исходной функции равна:

$y' = (2 - x^{1/2})' = (2)' - (x^{1/2})' = 0 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

г) $y = \sqrt{x^7} + x - 1$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы/разности и правило дифференцирования степенной функции.

Перепишем функцию, представив корень в виде степени: $y = x^{7/2} + x - 1$.

Дифференцируем функцию почленно:

$y' = (x^{7/2})' + (x)' - (1)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

$(x^{7/2})' = \frac{7}{2}x^{7/2 - 1} = \frac{7}{2}x^{5/2}$.

$(x)' = 1$.

$(1)' = 0$.

Соберем все вместе:

$y' = \frac{7}{2}x^{5/2} + 1 - 0 = \frac{7}{2}x^{5/2} + 1$.

Выражение $x^{5/2}$ можно также записать как $x^2\sqrt{x}$, но форма с дробным показателем является стандартной.

Ответ: $y' = \frac{7}{2}x^{5/2} + 1$

2.10 a) $y = 2|x| - 1, x \in [-3; 2]$;

Б) $y = 3 - |2x|, x \in (-5; 4)$;

В) $y = 1,5 - |5x|, x \in [-8; 2]$;

Г) $y = 6|x| - 2, x \in [-10; 4)$.

а) $y = 2|x| - 1, x \in [-3; 2]$

Задача состоит в нахождении множества значений (области значений) функции на заданном промежутке.

1. Функция $y = 2|x| - 1$ представляет собой график модуля, растянутый в 2 раза вдоль оси OY и смещенный на 1 единицу вниз. Ветви графика направлены вверх, так как коэффициент перед модулем положителен ($2 > 0$).

2. Вершина графика находится в точке, где выражение под модулем равно нулю, то есть при $x=0$. Найдем значение функции в этой точке: $y(0) = 2|0| - 1 = -1$.

3. Проверим, принадлежит ли точка вершины $x=0$ заданному отрезку $[-3; 2]$. Да, $0 \in [-3; 2]$. Поскольку ветви направлены вверх, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения на данном отрезке: $y_{min} = -1$.

4. Теперь найдем значения функции на концах отрезка:
При $x = -3$: $y(-3) = 2|-3| - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$.
При $x = 2$: $y(2) = 2|2| - 1 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$.

5. Наибольшее значение функции на отрезке будет максимальным из значений, полученных на концах: $y_{max} = \max(y(-3), y(2)) = \max(5, 3) = 5$.

6. Область значений функции $E(y)$ на отрезке $[-3; 2]$ — это промежуток от наименьшего до наибольшего значения функции.
Ответ: $E(y) = [-1; 5]$.

б) $y = 3 - |2x|, x \in (-5; 4]$

1. Функция $y = 3 - |2x|$ представляет собой график модуля, отраженный относительно оси OX (ветви вниз, так как коэффициент перед модулем отрицателен), сжатый в 2 раза вдоль оси OX и смещенный на 3 единицы вверх.

2. Вершина графика находится при $x=0$. Значение функции в этой точке: $y(0) = 3 - |2 \cdot 0| = 3$.

3. Проверим, принадлежит ли точка вершины $x=0$ заданному промежутку $(-5; 4]$. Да, $0 \in (-5; 4]$. Поскольку ветви направлены вниз, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения: $y_{max} = 3$.

4. Найдем значения функции на концах промежутка. Обратим внимание, что один конец интервала не включается.
При $x = 4$ (включительно): $y(4) = 3 - |2 \cdot 4| = 3 - 8 = -5$.
При $x = -5$ (не включительно), найдем предел функции: $\lim_{x\to -5^+} (3 - |2x|) = 3 - |2 \cdot (-5)| = 3 - 10 = -7$. Значение -7 не достигается.

5. Наименьшее значение на промежутке — это меньшее из значений на концах. В данном случае, функция стремится к -7, но не достигает его. Наименьшее из достижимых значений — это -5. Однако, все значения между -7 и 3 (кроме -7) будут принадлежать области значений.

6. Таким образом, область значений функции $E(y)$ на промежутке $(-5; 4]$ — это полуинтервал от -7 (не включая) до 3 (включая).
Ответ: $E(y) = (-7; 3]$.

в) $y = 1,5 - |5x|, x \in [-8; 2]$

1. Функция $y = 1,5 - |5x|$ имеет график, ветви которого направлены вниз (коэффициент перед модулем отрицателен).

2. Вершина графика находится при $x=0$. Значение функции в этой точке: $y(0) = 1,5 - |5 \cdot 0| = 1,5$.

3. Точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-8; 2]$, следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно значению в вершине: $y_{max} = 1,5$.

4. Найдем значения функции на концах отрезка:
При $x = -8$: $y(-8) = 1,5 - |5 \cdot (-8)| = 1,5 - |-40| = 1,5 - 40 = -38,5$.
При $x = 2$: $y(2) = 1,5 - |5 \cdot 2| = 1,5 - |10| = 1,5 - 10 = -8,5$.

5. Наименьшее значение функции на отрезке — это наименьшее из значений на концах: $y_{min} = \min(-38,5; -8,5) = -38,5$.

6. Область значений функции $E(y)$ на отрезке $[-8; 2]$ — это промежуток от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $E(y) = [-38,5; 1,5]$.

г) $y = 6|x| - 2, x \in [-10; 4)$

1. Функция $y = 6|x| - 2$ имеет график, ветви которого направлены вверх (коэффициент $6 > 0$).

2. Вершина графика находится при $x=0$. Значение функции в этой точке: $y(0) = 6|0| - 2 = -2$.

3. Точка $x=0$ принадлежит промежутку $[-10; 4)$. Так как ветви направлены вверх, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения: $y_{min} = -2$.

4. Найдем значения функции на концах промежутка:
При $x = -10$ (включительно): $y(-10) = 6|-10| - 2 = 6 \cdot 10 - 2 = 58$.
При $x = 4$ (не включительно), найдем предел: $\lim_{x\to 4^-} (6|x| - 2) = 6|4| - 2 = 24 - 2 = 22$. Значение 22 не достигается.

5. Наибольшее значение функции определяется по тому концу промежутка, который дальше отстоит от вершины ($x=0$). Так как $|-10| > |4|$, наибольшее значение будет при $x=-10$. Поскольку $x=-10$ входит в область определения, $y_{max} = 58$.

6. Область значений функции $E(y)$ на промежутке $[-10; 4)$ — это промежуток от наименьшего значения (достигаемого в вершине) до наибольшего (достигаемого на левом конце).
Ответ: $E(y) = [-2; 58]$.

2.6 a) $y = x^2 - 8x + 1;$

б) $y = \frac{2x - 4}{x}$, $x > 0;$

В) $y = -2x^2 - 6x + 15;$

Г) $y = \frac{5 - 2x}{1 - x}$, $x < 1.$

а) $y = x^2 - 8x + 1$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Область значений такой функции ограничена снизу ординатой вершины параболы.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ находятся по формулам: $x_v = -\frac{b}{2a}$ и $y_v = y(x_v)$.

В нашем случае $a=1$, $b=-8$, $c=1$.
$x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_v=4$ в уравнение функции:
$y_v = 4^2 - 8 \cdot 4 + 1 = 16 - 32 + 1 = -15$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции равно -15. Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные -15.

Ответ: $E(y) = [-15; +\infty)$.

б) $y = \frac{2x - 4}{x}, x > 0$

Преобразуем выражение для функции, разделив числитель почленно на знаменатель:
$y = \frac{2x}{x} - \frac{4}{x} = 2 - \frac{4}{x}$.

Функция задана на интервале $x > 0$. Чтобы определить ее область значений, проанализируем поведение функции на этом интервале. Найдем производную:
$y' = (2 - 4x^{-1})' = -4 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{4}{x^2}$.

Поскольку $x > 0$, то $x^2 > 0$, и, следовательно, производная $y' = \frac{4}{x^2}$ всегда положительна. Это означает, что функция строго возрастает на всей области определения $(0; +\infty)$.

Чтобы найти область значений, найдем пределы функции на границах интервала определения:
При $x \to 0^+$ (справа), $y \to 2 - \frac{4}{0^+} \to 2 - \infty \to -\infty$.
При $x \to +\infty$, $y \to 2 - \frac{4}{\infty} \to 2 - 0 = 2$.

Так как функция непрерывна и строго возрастает на $(0; +\infty)$, она принимает все значения между $-\infty$ и 2 (не включая 2, так как это значение является горизонтальной асимптотой).

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2)$.

в) $y = -2x^2 - 6x + 15$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -2, он отрицателен, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Область значений такой функции ограничена сверху ординатой вершины параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-2)} = \frac{6}{-4} = -1.5$.

Найдем ординату вершины (и наибольшее значение функции), подставив $x_v = -1.5$ в уравнение:
$y_v = -2(-1.5)^2 - 6(-1.5) + 15 = -2(2.25) + 9 + 15 = -4.5 + 24 = 19.5$.

Так как ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции равно 19.5. Таким образом, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 19.5.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 19.5]$.

г) $y = \frac{5 - 2x}{1 - x}, x < 1$

Преобразуем выражение для функции, выделив целую часть. Для этого можно переписать числитель: $5 - 2x = 3 + 2 - 2x = 3 + 2(1 - x)$.
$y = \frac{3 + 2(1 - x)}{1 - x} = \frac{3}{1 - x} + \frac{2(1 - x)}{1 - x} = 2 + \frac{3}{1 - x}$.

Функция задана на интервале $x < 1$. На этом интервале знаменатель $1 - x$ всегда положителен.
Найдем производную функции:
$y' = (2 + 3(1 - x)^{-1})' = 3 \cdot (-1)(1 - x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{3}{(1 - x)^2}$.

Поскольку $(1 - x)^2$ всегда положителен при $x < 1$, производная $y'$ всегда положительна. Это означает, что функция строго возрастает на интервале $(-\infty; 1)$.

Чтобы найти область значений, найдем пределы функции на границах интервала:
При $x \to 1^-$ (слева), знаменатель $1 - x \to 0^+$, и $y \to 2 + \frac{3}{0^+} \to 2 + \infty \to +\infty$.
При $x \to -\infty$, знаменатель $1 - x \to +\infty$, и $y \to 2 + \frac{3}{+\infty} \to 2 + 0 = 2$.

Так как функция непрерывна и строго возрастает на $(-\infty; 1)$, она принимает все значения от 2 (не включая) до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = (2; +\infty)$.

2.11 Исследуйте функцию на чётность:

а) $y = x^2 + 2x^4 + 1;$

б) $y = \frac{x}{x^2 + 1};$

в) $y = \frac{-3x^2 + 1}{1 - x^4};$

г) $y = 5 - 3x^3.$

а) $y = x^2 + 2x^4 + 1$

Чтобы исследовать функцию на чётность, нужно проверить выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ (для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции). Обозначим данную функцию как $f(x) = x^2 + 2x^4 + 1$. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^2 + 2(-x)^4 + 1 = x^2 + 2x^4 + 1$. Сравнивая $f(-x)$ и $f(x)$, получаем: $f(-x) = x^2 + 2x^4 + 1 = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: чётная функция.

б) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любом $x$. Область определения симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = \frac{-x}{x^2 + 1} = - \frac{x}{x^2 + 1}$. Сравнивая $f(-x)$ и $-f(x)$, получаем: $f(-x) = - \frac{x}{x^2 + 1} = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: нечётная функция.

в) $y = \frac{-3x^2 + 1}{1 - x^4}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{-3x^2 + 1}{1 - x^4}$. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $1 - x^4 \neq 0 \implies x^4 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \frac{-3(-x)^2 + 1}{1 - (-x)^4} = \frac{-3x^2 + 1}{1 - x^4}$. Сравнивая $f(-x)$ и $f(x)$, получаем: $f(-x) = \frac{-3x^2 + 1}{1 - x^4} = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: чётная функция.

г) $y = 5 - 3x^3$

Обозначим функцию как $f(x) = 5 - 3x^3$. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = 5 - 3(-x)^3 = 5 - 3(-x^3) = 5 + 3x^3$. Сравним полученное выражение с $f(x)$ и $-f(x)$: $f(-x) = 5 + 3x^3$. $f(x) = 5 - 3x^3$. $-f(x) = -(5 - 3x^3) = -5 + 3x^3$. Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
Ответ: ни чётная, ни нечётная функция.