Страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.1 Из заданного соотношения выразите переменную $y$ через переменную $x$:

а) $3x + 4y = 12;$

б) $2xy + y = -7;$

в) $6y - 5x + 1 = 0;$

г) $\frac{9}{xy} - 4 = 3x.$

Будет ли полученное соотношение задавать функцию?

а) Дано соотношение $3x + 4y = 12$.
Чтобы выразить переменную $y$, сначала изолируем слагаемое $4y$, перенеся $3x$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$4y = 12 - 3x$
Теперь разделим обе части уравнения на 4:
$y = \frac{12 - 3x}{4}$
Упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель:
$y = \frac{12}{4} - \frac{3x}{4} = 3 - \frac{3}{4}x$
Ответ: $y = 3 - \frac{3}{4}x$.

б) Дано соотношение $2xy + y = -7$.
В левой части уравнения вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(2x + 1) = -7$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на выражение в скобках $(2x + 1)$. Это возможно при условии, что $2x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1/2$.
$y = \frac{-7}{2x + 1}$
Ответ: $y = -\frac{7}{2x + 1}$.

в) Дано соотношение $6y - 5x + 1 = 0$.
Изолируем слагаемое с $y$ в левой части, перенеся остальные слагаемые в правую часть с противоположными знаками:
$6y = 5x - 1$
Разделим обе части уравнения на 6:
$y = \frac{5x - 1}{6}$
Это выражение можно также записать в виде:
$y = \frac{5}{6}x - \frac{1}{6}$
Ответ: $y = \frac{5}{6}x - \frac{1}{6}$.

г) Дано соотношение $\frac{9}{xy} - 4 = 3x$.
Область допустимых значений переменных: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.
Сначала перенесем -4 в правую часть уравнения:
$\frac{9}{xy} = 3x + 4$
Чтобы выразить $y$, сначала выразим произведение $xy$. Для этого умножим обе части уравнения на $xy$ (это действие корректно, так как мы уже учли, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$):
$9 = (3x + 4)xy$
Теперь, чтобы найти $y$, разделим обе части на $x(3x + 4)$. Это возможно при условии, что $x \neq 0$ и $3x+4 \neq 0$ (т.е. $x \neq -4/3$).
$y = \frac{9}{x(3x + 4)}$
Ответ: $y = \frac{9}{x(3x + 4)}$.

Будет ли полученное соотношение задавать функцию?
Да, во всех четырёх случаях полученное соотношение задает функцию. Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (в данном случае $x$) из некоторого множества (области определения) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной ($y$). В каждом из полученных уравнений для любого допустимого значения $x$ мы получаем ровно одно значение $y$.

1.2 Для функции $y = f(x)$, где $f(x) = x^3 - 5x^2 + 7$, найдите:

а) $f(1)$;

б) $f(3)$;

в) $f(-2)$;

г) $f(1,5)$.

Дана функция $f(x) = x^3 - 5x^2 + 7$. Чтобы найти значение функции в заданной точке, нужно подставить значение аргумента $x$ в формулу функции и выполнить вычисления.

а) Найдем значение функции при $x=1$.

$f(1) = (1)^3 - 5 \cdot (1)^2 + 7 = 1 - 5 \cdot 1 + 7 = 1 - 5 + 7 = 3$.

Ответ: $3$.

б) Найдем значение функции при $x=3$.

$f(3) = (3)^3 - 5 \cdot (3)^2 + 7 = 27 - 5 \cdot 9 + 7 = 27 - 45 + 7 = -11$.

Ответ: $-11$.

в) Найдем значение функции при $x=-2$.

$f(-2) = (-2)^3 - 5 \cdot (-2)^2 + 7 = -8 - 5 \cdot 4 + 7 = -8 - 20 + 7 = -21$.

Ответ: $-21$.

г) Найдем значение функции при $x=1,5$.

$f(1,5) = (1,5)^3 - 5 \cdot (1,5)^2 + 7$.

Вычислим значения степеней:
$1,5^2 = 2,25$;
$1,5^3 = 1,5 \cdot 2,25 = 3,375$.

Подставим полученные значения в выражение:
$f(1,5) = 3,375 - 5 \cdot 2,25 + 7 = 3,375 - 11,25 + 7 = -7,875 + 7 = -0,875$.

Ответ: $-0,875$.

1.3 Для функции $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 4}{3x + 3}$, найдите:

a) $f(x - 2)$;

б) $f(-x^3)$;

в) $f\left(\frac{1}{x}\right)$;

г) $f(2x^2 + 3x + 5)$.

Дана функция $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 4}{3x + 3}$.

а) Чтобы найти $f(x - 2)$, необходимо подставить выражение $(x - 2)$ вместо переменной $x$ в формулу функции.

$f(x - 2) = \frac{2(x - 2)^2 + 3(x - 2) - 4}{3(x - 2) + 3}$

Теперь упростим полученное выражение. Сначала преобразуем числитель:

$2(x - 2)^2 + 3(x - 2) - 4 = 2(x^2 - 4x + 4) + 3x - 6 - 4 = 2x^2 - 8x + 8 + 3x - 10 = 2x^2 - 5x - 2$

Затем преобразуем знаменатель:

$3(x - 2) + 3 = 3x - 6 + 3 = 3x - 3$

В результате получаем:

$f(x - 2) = \frac{2x^2 - 5x - 2}{3x - 3}$

Ответ: $f(x-2) = \frac{2x^2 - 5x - 2}{3x - 3}$

б) Чтобы найти $f(-x^3)$, подставим выражение $(-x^3)$ вместо переменной $x$.

$f(-x^3) = \frac{2(-x^3)^2 + 3(-x^3) - 4}{3(-x^3) + 3}$

Упростим числитель и знаменатель:

$2(-x^3)^2 = 2x^6$

$3(-x^3) = -3x^3$

Числитель: $2x^6 - 3x^3 - 4$

Знаменатель: $-3x^3 + 3 = 3 - 3x^3$

В результате получаем:

$f(-x^3) = \frac{2x^6 - 3x^3 - 4}{3 - 3x^3}$

Ответ: $f(-x^3) = \frac{2x^6 - 3x^3 - 4}{3 - 3x^3}$

в) Чтобы найти $f(\frac{1}{x})$, подставим выражение $\frac{1}{x}$ вместо переменной $x$.

$f(\frac{1}{x}) = \frac{2(\frac{1}{x})^2 + 3(\frac{1}{x}) - 4}{3(\frac{1}{x}) + 3}$

Упростим числитель и знаменатель полученной дроби:

Числитель: $2(\frac{1}{x^2}) + \frac{3}{x} - 4 = \frac{2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} - \frac{4x^2}{x^2} = \frac{2 + 3x - 4x^2}{x^2}$

Знаменатель: $\frac{3}{x} + 3 = \frac{3}{x} + \frac{3x}{x} = \frac{3 + 3x}{x}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$f(\frac{1}{x}) = \frac{\frac{2 + 3x - 4x^2}{x^2}}{\frac{3 + 3x}{x}} = \frac{2 + 3x - 4x^2}{x^2} \cdot \frac{x}{3 + 3x} = \frac{-4x^2 + 3x + 2}{x(3x + 3)} = \frac{-4x^2 + 3x + 2}{3x^2 + 3x}$

Ответ: $f(\frac{1}{x}) = \frac{-4x^2 + 3x + 2}{3x^2 + 3x}$

г) Чтобы найти $f(2x^2 + 3x + 5)$, необходимо подставить выражение $(2x^2 + 3x + 5)$ вместо $x$. Прямая подстановка приведет к громоздким вычислениям. Упростим сначала вид самой функции $f(x)$.

Выделим целую часть дроби с помощью деления многочлена в столбик. Разделим $2x^2 + 3x - 4$ на $x+1$ (так как знаменатель равен $3(x+1)$):

$2x^2 + 3x - 4 = (2x+1)(x+1) - 5$

Тогда функцию $f(x)$ можно переписать в виде:

$f(x) = \frac{(2x+1)(x+1) - 5}{3(x+1)} = \frac{2x+1}{3} - \frac{5}{3(x+1)}$

Теперь в эту упрощенную форму подставим аргумент $A = 2x^2 + 3x + 5$ вместо $x$:

$f(2x^2 + 3x + 5) = \frac{2(2x^2 + 3x + 5) + 1}{3} - \frac{5}{3((2x^2 + 3x + 5) + 1)}$

Упростим каждое слагаемое:

Первое слагаемое: $\frac{2(2x^2 + 3x + 5) + 1}{3} = \frac{4x^2 + 6x + 10 + 1}{3} = \frac{4x^2 + 6x + 11}{3}$

Второе слагаемое: $\frac{5}{3(2x^2 + 3x + 5 + 1)} = \frac{5}{3(2x^2 + 3x + 6)}$

Вычтем второе слагаемое из первого, приведя их к общему знаменателю $3(2x^2 + 3x + 6)$:

$f(2x^2 + 3x + 5) = \frac{(4x^2 + 6x + 11)(2x^2 + 3x + 6)}{3(2x^2 + 3x + 6)} - \frac{5}{3(2x^2 + 3x + 6)}$

$f(2x^2 + 3x + 5) = \frac{(4x^2 + 6x + 11)(2x^2 + 3x + 6) - 5}{3(2x^2 + 3x + 6)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(8x^4 + 12x^3 + 24x^2) + (12x^3 + 18x^2 + 36x) + (22x^2 + 33x + 66) - 5 = 8x^4 + 24x^3 + 64x^2 + 69x + 61$

Упростим знаменатель:

$3(2x^2 + 3x + 6) = 6x^2 + 9x + 18$

Ответ: $f(2x^2 + 3x + 5) = \frac{8x^4 + 24x^3 + 64x^2 + 69x + 61}{6x^2 + 9x + 18}$

Найдите область определения функции:

1.4 a) $y = \frac{3x - 2}{5x + 3}$;

б) $y = \frac{6}{x^2 - 16}$;

в) $y = \frac{5 + 6x}{2x - 4}$;

г) $y = \frac{7}{25 - x^2}$.

а) Область определения функции $y = \frac{3x - 2}{5x + 3}$ – это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключим их из области определения:
$5x + 3 = 0$
$5x = -3$
$x = -\frac{3}{5}$
$x = -0.6$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -0.6$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0.6) \cup (-0.6; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \frac{6}{x^2 - 16}$ – это множество всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:
$x^2 - 16 = 0$
Используем формулу разности квадратов:
$(x - 4)(x + 4) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 4 = 0$ или $x + 4 = 0$
$x_1 = 4$
$x_2 = -4$
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -4$ и $x = 4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \frac{5 + 6x}{2x - 4}$ – это множество всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$2x - 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$
Значит, из области определения нужно исключить значение $x = 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

г) Область определения функции $y = \frac{7}{25 - x^2}$ – это множество всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.
Найдем недопустимые значения $x$, приравняв знаменатель к нулю:
$25 - x^2 = 0$
Используем формулу разности квадратов:
$(5 - x)(5 + x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$5 - x = 0$ или $5 + x = 0$
$x_1 = 5$
$x_2 = -5$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -5$ и $x = 5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

1.5 а) $y = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}};

В) $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$;

Г) $y = \sqrt{\frac{3}{49 - x^2}}$.

а) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x^2 - 3x + 2 \ge 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 3x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значит, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения при $x$, находящихся левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}}$ задается двумя условиями: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным ($x^2 - 4 \ge 0$), и знаменатель дроби не должен быть равен нулю ($\sqrt{x^2 - 4} \ne 0$). Объединив эти два условия, получаем одно строгое неравенство:

$x^2 - 4 > 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$x^2 > 4$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x > 2$ или $x < -2$.

Следовательно, область определения функции есть объединение двух интервалов: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$ задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 + 4x - 12 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{-4 - 8}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$

Парабола $f(x) = x^2 + 4x - 12$ имеет ветви, направленные вверх. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения при $x \le -6$ и при $x \ge 2$.

Область определения функции: $x \in (-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

г) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{3}{49 - x^2}}$ задается условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\frac{3}{49 - x^2} \ge 0$.

Так как числитель дроби (3) является положительным числом, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был также строго положительным (знаменатель не может быть равен нулю).

$49 - x^2 > 0$

Перепишем неравенство в виде:

$x^2 < 49$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-7 < x < 7$

Таким образом, область определения функции представляет собой интервал $(-7, 7)$.

Ответ: $x \in (-7, 7)$.