Страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая числу:

4.17 а) $6$;

б) $2$;

в) $3$;

г) $4$?

Для определения четверти числовой окружности, которой принадлежит точка, соответствующая данному числу, необходимо сравнить это число с граничными значениями четвертей. Границы четвертей выражаются в радианах через число $\pi$, где $\pi \approx 3,14$.

I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$

II четверть: от $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ до $\pi \approx 3,14$

III четверть: от $\pi \approx 3,14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$

IV четверть: от $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ до $2\pi \approx 6,28$

а) 6

Сравним число 6 с граничными значениями. Так как $4,71 < 6 < 6,28$, что соответствует неравенству $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, то точка, соответствующая числу 6, принадлежит IV четверти.

Ответ: IV четверть.

б) 2

Сравним число 2 с граничными значениями. Так как $1,57 < 2 < 3,14$, что соответствует неравенству $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, то точка, соответствующая числу 2, принадлежит II четверти.

Ответ: II четверть.

в) 3

Сравним число 3 с граничными значениями. Так как $1,57 < 3 < 3,14$, что соответствует неравенству $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, то точка, соответствующая числу 3, принадлежит II четверти.

Ответ: II четверть.

г) 4

Сравним число 4 с граничными значениями. Так как $3,14 < 4 < 4,71$, что соответствует неравенству $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, то точка, соответствующая числу 4, принадлежит III четверти.

Ответ: III четверть.

4.22 а) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$

б) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k;$

в) $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k;$

г) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k.$

а) Данное множество решений $t$ задано неравенством $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим это неравенство на единичной окружности при $k=0$. Получаем интервал $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$.Угол $t = -\frac{\pi}{2}$ соответствует точке $(0, -1)$, а угол $t = \frac{\pi}{2}$ — точке $(0, 1)$. Интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ представляет собой дугу единичной окружности, расположенную в первой и четвертой координатных четвертях, то есть правую половину окружности.Для любой точки на этой дуге ее абсцисса (координата $x$) положительна. Так как на единичной окружности абсцисса точки, соответствующей углу $t$, равна $\cos(t)$, то для всех $t$ из данного интервала выполняется условие $\cos(t) > 0$.В граничных точках $t = -\frac{\pi}{2}$ и $t = \frac{\pi}{2}$ косинус равен нулю ($\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$). Строгое неравенство в условии соответствует тому, что эти точки не включены в решение.Следовательно, данное множество является решением неравенства $\cos(t) > 0$.

Ответ: $\cos(t) > 0$.

б) Данное множество решений $t$ задано неравенством $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим интервал при $k=0$: $-\frac{\pi}{6} < t < \frac{7\pi}{6}$.Найдем значения синуса в граничных точках интервала:$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.$\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.Обе граничные точки соответствуют ординате (координате $y$), равной $-\frac{1}{2}$.Интервал $(-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$ представляет собой дугу, которая начинается в четвертой четверти, проходит через первую и вторую четверти и заканчивается в третьей.Возьмем любую точку внутри этого интервала, например, $t=0$. $\sin(0)=0$. Так как $0 > -\frac{1}{2}$, можно предположить, что неравенство имеет вид $\sin(t) > -\frac{1}{2}$.Действительно, для всех углов $t$ в интервале $(-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$ ордината соответствующей точки на единичной окружности больше, чем $-\frac{1}{2}$.Таким образом, данное множество является решением неравенства $\sin(t) > -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\sin(t) > -\frac{1}{2}$.

в) Данное множество решений $t$ задано неравенством $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим интервал при $k=0$: $-\frac{3\pi}{4} < t < \frac{3\pi}{4}$.Найдем значения косинуса в граничных точках интервала:$\cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.$\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Обе граничные точки соответствуют абсциссе (координате $x$), равной $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.Интервал $(-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ представляет собой дугу, которая начинается в третьей четверти, проходит через четвертую и первую четверти и заканчивается во второй.Возьмем любую точку внутри этого интервала, например, $t=0$. $\cos(0)=1$. Так как $1 > -\frac{\sqrt{2}}{2}$, можно предположить, что неравенство имеет вид $\cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Действительно, для всех углов $t$ в интервале $(-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ абсцисса соответствующей точки на единичной окружности больше, чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.Таким образом, данное множество является решением неравенства $\cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Данное множество решений $t$ задано неравенством $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Рассмотрим интервал при $k=0$: $-\frac{\pi}{3} < t < \frac{2\pi}{3}$.Проверим значения синуса и косинуса в граничных точках.$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.Поскольку значения и синуса, и косинуса в конечных точках интервала различны, это решение не соответствует простому неравенству вида $\sin(t) > a$ или $\cos(t) > a$.Однако, найдем длину этого интервала: $L = \frac{2\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi$.Интервал решения длиной $\pi$ характерен для неравенств вида $\sin(u) > 0$, $\sin(u) < 0$, $\cos(u) > 0$ или $\cos(u) < 0$.Предположим, что исходное неравенство имело вид $\sin(t+\alpha) > 0$.Решением неравенства $\sin(u) > 0$ является интервал $2\pi k < u < \pi + 2\pi k$.Подставив $u = t+\alpha$, получаем: $2\pi k < t+\alpha < \pi + 2\pi k$.Выразим $t$: $-\alpha + 2\pi k < t < \pi - \alpha + 2\pi k$.Сравним этот результат с данным в условии интервалом $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.Приравнивая левые и правые границы, получаем систему:$-\alpha = -\frac{\pi}{3}$$\pi - \alpha = \frac{2\pi}{3}$Из первого уравнения следует, что $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Подставим это значение во второе уравнение для проверки: $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Равенство верное.Следовательно, исходное неравенство было $\sin(t + \frac{\pi}{3}) > 0$.

Ответ: $\sin(t + \frac{\pi}{3}) > 0$.

4.18 a) $5$;

б) $-5$;

в) $8$;

г) $-8$?

Поскольку в изображении отсутствует сама задача и приведен лишь нумерованный список чисел, который, скорее всего, является вариантами ответа, дать единственно верное решение невозможно. Однако, можно предоставить развернутый анализ каждого из предложенных чисел. В качестве такого анализа найдем для каждого числа его противоположное значение и его модуль (абсолютную величину).

а)
Дано число 5.
Противоположное число — это число с таким же значением, но противоположным знаком. Для 5 это будет -5. Их сумма равна нулю: $5 + (-5) = 0$.
Модуль числа — это его значение без учета знака (или расстояние от нуля на числовой прямой). Модуль числа 5 обозначается как $|5|$ и равен 5.
Ответ: противоположное число -5, модуль 5.

б)
Дано число -5.
Противоположное число для -5 это 5. Их сумма равна нулю: $-5 + 5 = 0$.
Модуль числа -5 обозначается как $|-5|$ и равен 5.
Ответ: противоположное число 5, модуль 5.

в)
Дано число 8.
Противоположное число для 8 это -8. Их сумма равна нулю: $8 + (-8) = 0$.
Модуль числа 8 обозначается как $|8|$ и равен 8.
Ответ: противоположное число -8, модуль 8.

г)
Дано число -8.
Противоположное число для -8 это 8. Их сумма равна нулю: $-8 + 8 = 0$.
Модуль числа -8 обозначается как $|-8|$ и равен 8.
Ответ: противоположное число 8, модуль 8.

4.14 Запишите одной формулой все числа, которым соответствуют на числовой окружности заданные точки (рис. 2):

а) A;

б) C;

в) A и C.

а)

Точка A на числовой окружности обычно соответствует началу отсчета, то есть числу 0. Любая точка на числовой окружности повторяется через полный оборот, который равен $2\pi$ радиан. Следовательно, чтобы найти все числа, соответствующие точке A, нужно к начальному значению 0 прибавить целое число полных оборотов. Это можно выразить формулой:
$x = 0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
Упрощая выражение, получаем окончательную формулу для точки A:
$x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Точка C на числовой окружности, как правило, диаметрально противоположна точке A. Это означает, что она соответствует повороту на половину окружности от начальной точки, то есть числу $\pi$. Аналогично пункту а), все остальные значения, соответствующие этой точке, получаются добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi$). Формула для всех чисел, соответствующих точке C, выглядит так:
$x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Для того чтобы объединить все числа, соответствующие точкам A и C, в одну формулу, нужно заметить, что эти точки расположены на окружности через каждые пол-оборота, то есть через $\pi$ радиан.
Мы можем начать с точки A (значение 0) и прибавлять к ней целое число полуоборотов ($\pi k$).

• Если $k$ — четное число ($k=2n$), то $x = \pi \cdot (2n) = 2\pi n$. Это формула для точки A.
• Если $k$ — нечетное число ($k=2n+1$), то $x = \pi \cdot (2n+1) = \pi + 2\pi n$. Это формула для точки C.

Таким образом, формула $x = \pi k$ при всех целых $k$ описывает обе совокупности точек.
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4.19 а) $AM$;

б) $CM$;

в) $MA$;

г) $MC$.

($M$ – середина первой четверти.)

Для решения данной задачи используется понятие единичной тригонометрической окружности. Это окружность с центром в начале координат и радиусом, равным $1$. Длина дуги на такой окружности численно равна величине центрального угла, который ее стягивает, выраженной в радианах.

В условии сказано, что "M — середина первой четверти". Первая четверть на тригонометрической окружности соответствует дуге от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан. Следовательно, точка M делит эту дугу пополам, и соответствующий ей угол равен $\alpha_M = \frac{0 + \pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$. Точка A является начальной точкой отсчета углов, ей соответствует угол $\alpha_A = 0$. Точка C находится на противоположной стороне окружности от точки A по горизонтали, ей соответствует угол $\alpha_C = \pi$. Обозначения AM, CM и т.д. в задаче представляют собой длины соответствующих дуг на единичной окружности.

а) AM

Длина дуги AM равна модулю разности углов, соответствующих точкам M и A. Это кратчайшее расстояние по дуге окружности между этими точками.

Длина дуги $AM = |\alpha_M - \alpha_A| = |\frac{\pi}{4} - 0| = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) CM

Длина дуги CM равна модулю разности углов, соответствующих точкам C и M. Мы ищем наименьшую дугу, соединяющую эти точки.

Длина дуги $CM = |\alpha_C - \alpha_M| = |\pi - \frac{\pi}{4}| = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

в) MA

Длина дуги MA равна длине дуги AM, поскольку длина дуги между двумя точками не зависит от порядка точек (направления измерения).

Длина дуги $MA = \text{длина дуги } AM = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

г) MC

Аналогично, длина дуги MC равна длине дуги CM. Это та же самая дуга, просто названная в другом порядке.

Длина дуги $MC = \text{длина дуги } CM = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

4.15 Запишите одной формулой все числа, которым соответствуют на числовой окружности заданные точки (см. рис. 2):

а) B;

б) D;

в) B и D.

а) B

В стандартном представлении числовой окружности точка B находится в верхней части (на оси ординат) и соответствует углу $\frac{\pi}{2}$ радиан. Чтобы найти все числа, соответствующие этой точке, нужно учесть, что мы можем совершить любое целое число полных оборотов по окружности и вернуться в ту же точку. Один полный оборот составляет $2\pi$ радиан. Таким образом, к начальному значению угла $\frac{\pi}{2}$ нужно прибавить $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) D

Точка D на числовой окружности обычно расположена в нижней части (на оси ординат) и соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$ радиан (или, что то же самое, $\frac{3\pi}{2}$ радиан). Аналогично пункту а), все числа, соответствующие точке D, получаются путем добавления целого числа полных оборотов ($2\pi k$) к одному из этих значений. Удобнее использовать значение $-\frac{\pi}{2}$ как основное.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

в) B и D

Требуется найти единую формулу для чисел, соответствующих обеим точкам: B ($\frac{\pi}{2}$) и D ($-\frac{\pi}{2}$). Эти точки расположены на вертикальной оси и являются диаметрально противоположными. Расстояние между ними вдоль окружности составляет половину оборота, то есть $\pi$ радиан. Это означает, что если мы начнем с точки B (которой соответствует число $\frac{\pi}{2}$) и будем последовательно прибавлять по половине оборота ($\pi$), мы будем поочередно попадать в точку D, затем снова в B, и так далее.

Математически это можно записать так: взяв за основу точку B, мы добавляем $k$ раз по $\pi$ радиан. При четных $k$ (например, $k=0, 2, -2, ...$) мы будем попадать в точку B (например, $\frac{\pi}{2} + 2\pi$), а при нечетных $k$ (например, $k=1, 3, -1, ...$) — в точку D (например, $\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$). Таким образом, формула охватывает обе серии точек.

Альтернативный способ рассуждения: точки B и D — это точки на единичной окружности, у которых абсцисса (координата x) равна нулю. Это соответствует решению тригонометрического уравнения $\cos(x) = 0$. Решениями этого уравнения являются все числа вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

4.20 а) $DM$;

б) $BD$;

в) $MD$;

г) $DB$.

($M'$ - середина второй четверти.)

Для решения задачи будем рассматривать точки B, D и M как точки на единичной тригонометрической окружности. Длина дуги на такой окружности численно равна величине центрального угла в радианах, который на нее опирается. Положительным направлением обхода окружности считается движение против часовой стрелки.

Определим углы, соответствующие заданным точкам в радианах:

Точка B, как правило, соответствует концу первой четверти (угол $90^\circ$), поэтому ее угловая координата $t_B = \frac{\pi}{2}$.

Точка D, как правило, соответствует концу третьей четверти (угол $270^\circ$), поэтому ее угловая координата $t_D = \frac{3\pi}{2}$.

По условию, точка M — середина второй четверти. Вторая четверть — это дуга от угла $\frac{\pi}{2}$ до угла $\pi$. Угол, соответствующий середине этой дуги, равен среднему арифметическому ее концов: $t_M = \frac{\frac{\pi}{2} + \pi}{2} = \frac{\frac{3\pi}{2}}{2} = \frac{3\pi}{4}$.

Длина дуги, например, от точки X к точке Y (обозначается как XY), вычисляется как разность их угловых координат $(t_Y - t_X)$. Если результат отрицательный, к нему нужно прибавить $2\pi$ (полный оборот), чтобы получить положительную длину дуги в пределах от $0$ до $2\pi$.

4.16 Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует числу:

а) $1$;

б) $-5$;

в) $4,5$;

г) $-3$.

Для определения положения точки на числовой окружности мы будем отталкиваться от начальной точки, соответствующей числу 0, которая расположена справа на горизонтальном диаметре. Положительные числа откладываются движением против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке. Длина дуги, которую мы проходим от начальной точки, равна модулю заданного числа. Для удобства будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

Ключевые точки на окружности (при движении против часовой стрелки):

• 0 – начальная точка.
• $\pi/2 \approx 1.57$ – конец первой четверти.
• $\pi \approx 3.14$ – конец второй четверти.
• $3\pi/2 \approx 4.71$ – конец третьей четверти.
• $2\pi \approx 6.28$ – конец четвертой четверти (полный оборот).

а) 1

Число 1 положительное, значит, мы движемся от начальной точки против часовой стрелки на дугу длиной 1. Сравним число 1 с границами первой четверти: $0 < 1 < \pi/2$, так как $1 < 1.57$. Следовательно, точка, соответствующая числу 1, находится в первой четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу 1, находится в первой четверти числовой окружности.

б) -5

Число -5 отрицательное, значит, мы движемся от начальной точки по часовой стрелке на дугу длиной 5. Чтобы определить положение точки, можно найти соответствующее ей положительное число, прибавив полный оборот $2\pi$. Положение точки на окружности при этом не изменится.

$-5 + 2\pi \approx -5 + 2 \times 3.14 = -5 + 6.28 = 1.28$.

Теперь найдем положение точки, соответствующей числу 1.28. Сравним это число с границами первой четверти: $0 < 1.28 < \pi/2$, так как $1.28 < 1.57$. Таким образом, точка, соответствующая числу -5, находится в первой четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу -5, находится в первой четверти числовой окружности.

в) 4,5

Число 4.5 положительное, поэтому мы движемся против часовой стрелки. Сравним это число с границами четвертей:

$\pi \approx 3.14$

$3\pi/2 \approx 4.71$

Поскольку выполняется неравенство $\pi < 4.5 < 3\pi/2$ (то есть $3.14 < 4.5 < 4.71$), точка прошла вторую четверть, но не достигла конца третьей. Следовательно, точка, соответствующая числу 4.5, находится в третьей четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу 4,5, находится в третьей четверти числовой окружности.

г) -3

Число -3 отрицательное, мы движемся по часовой стрелке на дугу длиной 3. Рассмотрим границы четвертей при движении в отрицательном направлении:

$-\pi/2 \approx -1.57$ (конец четвертой четверти)

$-\pi \approx -3.14$ (конец третьей четверти)

Так как выполняется неравенство $-\pi < -3 < -\pi/2$ (то есть $-3.14 < -3 < -1.57$), точка прошла по часовой стрелке дальше точки $-\pi/2$, но не достигла точки $-\pi$. Следовательно, она находится в третьей четверти.

Ответ: Точка, соответствующая числу -3, находится в третьей четверти числовой окружности.

4.21 а) $\frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq t \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$;

б) $2\pi k \leq t \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$;

В) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k \leq t \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$;

Г) $\pi + 2\pi k \leq t \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$.

a)

Данное двойное неравенство $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $k \in Z$ (k — любое целое число), задает множество решений для переменной $t$. Слагаемое $2\pi k$ указывает на то, что множество решений является периодическим с периодом $2\pi$. Это означает, что решения повторяются через каждый полный оборот на единичной окружности.

Чтобы понять, какую именно дугу на единичной окружности описывает это неравенство, рассмотрим основной промежуток, который получается при $k=0$:

$ \frac{\pi}{6} \le t \le \frac{2\pi}{3} $.

Начальная точка дуги соответствует углу $t_1 = \frac{\pi}{6}$ (30°). Эта точка находится в первой координатной четверти. Конечная точка дуги соответствует углу $t_2 = \frac{2\pi}{3}$ (120°). Эта точка находится во второй координатной четверти.

Таким образом, неравенство описывает дугу на единичной окружности, которая начинается в точке, соответствующей углу $\frac{\pi}{6}$, и продолжается против часовой стрелки до точки, соответствующей углу $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: Множество всех точек на единичной окружности, расположенных на дуге от точки $\frac{\pi}{6}$ до точки $\frac{2\pi}{3}$ включительно (при движении против часовой стрелки), а также всех точек, получаемых из них добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k, k \in Z$). Эта дуга охватывает часть I и часть II координатных четвертей.

б)

Данное двойное неравенство $ 2\pi k \le t \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $, где $k \in Z$, задает периодическое множество решений с периодом $2\pi$.

Рассмотрим основной промежуток при $k=0$:

$ 0 \le t \le \frac{5\pi}{4} $.

Начальная точка дуги соответствует углу $t_1 = 0$ (0°). Эта точка находится на положительной части оси Ox, на границе I и IV четвертей. Конечная точка дуги соответствует углу $t_2 = \frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$ (225°). Эта точка находится в третьей координатной четверти.

Таким образом, неравенство описывает дугу на единичной окружности, которая начинается в точке, соответствующей углу $0$, и продолжается против часовой стрелки до точки, соответствующей углу $\frac{5\pi}{4}$. Эта дуга проходит через всю первую, всю вторую и часть третьей четверти.

Ответ: Множество всех точек на единичной окружности, расположенных на дуге от точки $0$ до точки $\frac{5\pi}{4}$ включительно (при движении против часовой стрелки), а также всех точек, получаемых из них добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k, k \in Z$). Эта дуга охватывает I, II и часть III координатных четвертей.

в)

Данное двойное неравенство $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le t \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $, где $k \in Z$, задает периодическое множество решений с периодом $2\pi$.

Рассмотрим основной промежуток при $k=0$:

$ \frac{\pi}{2} \le t \le \frac{3\pi}{2} $.

Начальная точка дуги соответствует углу $t_1 = \frac{\pi}{2}$ (90°). Эта точка находится на положительной части оси Oy, на границе I и II четвертей. Конечная точка дуги соответствует углу $t_2 = \frac{3\pi}{2}$ (270°). Эта точка находится на отрицательной части оси Oy, на границе III и IV четвертей.

Неравенство описывает дугу, которая начинается в точке $\frac{\pi}{2}$ и идет против часовой стрелки до точки $\frac{3\pi}{2}$. Эта дуга представляет собой левую половину единичной окружности и полностью покрывает вторую и третью координатные четверти.

Ответ: Множество всех точек на единичной окружности, расположенных на дуге от точки $\frac{\pi}{2}$ до точки $\frac{3\pi}{2}$ включительно (при движении против часовой стрелки), а также всех точек, получаемых из них добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k, k \in Z$). Эта дуга представляет собой левую половину окружности и охватывает II и III координатные четверти.

г)

Данное двойное неравенство $ \pi + 2\pi k \le t \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi k $, где $k \in Z$, задает периодическое множество решений с периодом $2\pi$.

Рассмотрим основной промежуток при $k=0$:

$ \pi \le t \le \frac{5\pi}{3} $.

Начальная точка дуги соответствует углу $t_1 = \pi$ (180°). Эта точка находится на отрицательной части оси Ox, на границе II и III четвертей. Конечная точка дуги соответствует углу $t_2 = \frac{5\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$ (300°). Эта точка находится в четвертой координатной четверти.

Неравенство описывает дугу, которая начинается в точке $\pi$ и идет против часовой стрелки до точки $\frac{5\pi}{3}$. Эта дуга полностью покрывает третью четверть и часть четвертой четверти.

Ответ: Множество всех точек на единичной окружности, расположенных на дуге от точки $\pi$ до точки $\frac{5\pi}{3}$ включительно (при движении против часовой стрелки), а также всех точек, получаемых из них добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k, k \in Z$). Эта дуга охватывает III и часть IV координатных четвертей.