Страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

6.8 a) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4}$;

Б) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{6}$;

В) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6}$;

Г) $\operatorname{tg} \frac{9\pi}{4} + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}$.

Для вычисления значения выражения $\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{ctg}\frac{5\pi}{4}$ найдем значения каждого слагаемого.

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным: $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Для вычисления котангенса угла $\frac{5\pi}{4}$ воспользуемся формулой приведения. Представим угол в виде суммы: $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$.

Согласно формуле приведения $\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}(\alpha)$, получаем:

$\text{ctg}\frac{5\pi}{4} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}\frac{\pi}{4}$.

Табличное значение котангенса угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1: $\text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Теперь сложим полученные значения:

$\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{ctg}\frac{5\pi}{4} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

Для вычисления значения выражения $\text{ctg}\frac{\pi}{3} \cdot \text{tg}\frac{\pi}{6}$ найдем значения каждого множителя.

Это табличные значения тригонометрических функций:

$\text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Теперь перемножим эти значения:

$\text{ctg}\frac{\pi}{3} \cdot \text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{(\sqrt{3})^2}{3 \cdot 3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

Для вычисления значения выражения $\text{tg}\frac{\pi}{6} - \text{ctg}\frac{\pi}{6}$ найдем табличные значения уменьшаемого и вычитаемого.

$\text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.

Выполним вычитание:

$\text{tg}\frac{\pi}{6} - \text{ctg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}$.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{3} = \frac{-2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Для вычисления значения выражения $\text{tg}\frac{9\pi}{4} + \text{ctg}\frac{\pi}{4}$ найдем значения каждого слагаемого.

Для вычисления $\text{tg}\frac{9\pi}{4}$ воспользуемся свойством периодичности тангенса, период которого равен $\pi$.

Представим угол $\frac{9\pi}{4}$ следующим образом: $\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.

Так как $\text{tg}(x + 2\pi) = \text{tg}(x)$, то:

$\text{tg}\frac{9\pi}{4} = \text{tg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Значение котангенса угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным: $\text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Теперь сложим полученные значения:

$\text{tg}\frac{9\pi}{4} + \text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

Найдите значение выражения:

6.13 a) $ \cos 2t $, если $ t = \frac{\pi}{2} $;

б) $ \sin \frac{t}{2} $, если $ t = -\frac{\pi}{3} $;

в) $ \sin 2t $, если $ t = -\frac{\pi}{6} $;

г) $ \cos \frac{t}{2} $, если $ t = -\frac{\pi}{3} $.

а)

Чтобы найти значение выражения $\cos 2t$, если $t = \frac{\pi}{2}$, необходимо подставить данное значение $t$ в выражение:

$\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(\pi)$

Значение косинуса для угла $\pi$ равно -1.

$\cos(\pi) = -1$

Ответ: -1

б)

Чтобы найти значение выражения $\sin \frac{t}{2}$, если $t = -\frac{\pi}{3}$, подставим данное значение $t$ в выражение:

$\sin(\frac{-\frac{\pi}{3}}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$

Функция синус является нечетной, поэтому $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно:

$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

в)

Чтобы найти значение выражения $\sin 2t$, если $t = -\frac{\pi}{6}$, подставим данное значение $t$ в выражение:

$\sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{6})) = \sin(-\frac{2\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{3})$

Используя свойство нечетности функции синус $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

г)

Чтобы найти значение выражения $\cos \frac{t}{2}$, если $t = -\frac{\pi}{3}$, подставим данное значение $t$ в выражение:

$\cos(\frac{-\frac{\pi}{3}}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{6})$

Функция косинус является четной, поэтому $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно:

$\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

6.9 a) $ \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{3} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6}; $

б) $ 2 \sin \pi + 3 \cos \pi + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2}; $

В) $ 2 \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{3}; $

Г) $ 2 \operatorname{tg} 0 + 8 \cos \frac{3\pi}{2} - 6 \sin^2 \frac{\pi}{3}. $

а) Вычислим значение выражения $tg\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot ctg\frac{\pi}{6}$.
Для этого найдем значения табличных тригонометрических функций:
$tg\frac{\pi}{4} = 1$
$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$
Подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычисления:
$tg\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot ctg\frac{\pi}{6} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: $1.5$

б) Вычислим значение выражения $2\sin\pi + 3\cos\pi + ctg\frac{\pi}{2}$.
Найдем значения табличных тригонометрических функций:
$\sin\pi = 0$
$\cos\pi = -1$
$ctg\frac{\pi}{2} = 0$
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$2 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) + 0 = 0 - 3 + 0 = -3$.
Ответ: $-3$

в) Вычислим значение выражения $2\sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}tg^2\frac{\pi}{3}$.
Найдем значения табличных тригонометрических функций:
$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, следовательно $tg^2\frac{\pi}{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 3 = 2 \cdot \frac{3}{4} - \frac{3}{2} = \frac{6}{4} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$.
Ответ: $0$

г) Вычислим значение выражения $2tg0 + 8\cos\frac{3\pi}{2} - 6\sin^2\frac{\pi}{3}$.
Найдем значения табличных тригонометрических функций:
$tg0 = 0$
$\cos\frac{3\pi}{2} = 0$
$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\sin^2\frac{\pi}{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$2 \cdot 0 + 8 \cdot 0 - 6 \cdot \frac{3}{4} = 0 + 0 - \frac{18}{4} = -\frac{9}{2} = -4.5$.
Ответ: $-4.5$

6.14 a) $\sin^2 t - \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{3}$;

б) $\sin^2 t + \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{4}$;

в) $\sin^2 t - \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{4}$;

г) $\sin^2 t + \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{6}$.

а) Требуется найти значение выражения $sin^2 t - cos^2 t$ при $t = \frac{\pi}{3}$.

Сначала найдем значения синуса и косинуса для угла $t = \frac{\pi}{3}$:

$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$sin^2(\frac{\pi}{3}) - cos^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Альтернативный способ — использовать формулу косинуса двойного угла: $cos(2t) = cos^2 t - sin^2 t$. Отсюда следует, что $sin^2 t - cos^2 t = -cos(2t)$.

Подставим $t = \frac{\pi}{3}$: $-cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{2\pi}{3}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Требуется найти значение выражения $sin^2 t + cos^2 t$ при $t = \frac{\pi}{4}$.

Выражение $sin^2 t + cos^2 t$ является основным тригонометрическим тождеством, и его значение всегда равно 1 для любого действительного значения $t$.

$sin^2 t + cos^2 t = 1$

Следовательно, при $t = \frac{\pi}{4}$, значение выражения равно 1.

Для проверки можно подставить значения $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$sin^2(\frac{\pi}{4}) + cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: 1

в) Требуется найти значение выражения $sin^2 t - cos^2 t$ при $t = \frac{\pi}{4}$.

Найдем значения синуса и косинуса для угла $t = \frac{\pi}{4}$:

$sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$sin^2(\frac{\pi}{4}) - cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} - \frac{2}{4} = 0$.

Используя формулу косинуса двойного угла $sin^2 t - cos^2 t = -cos(2t)$, получим:

$-cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = -cos(\frac{\pi}{2}) = -0 = 0$.

Ответ: 0

г) Требуется найти значение выражения $sin^2 t + cos^2 t$ при $t = \frac{\pi}{6}$.

Как и в пункте б), мы используем основное тригонометрическое тождество:

$sin^2 t + cos^2 t = 1$

Это тождество верно для любого значения $t$, поэтому при $t = \frac{\pi}{6}$ результат также будет равен 1.

Проверим путем подстановки значений $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$sin^2(\frac{\pi}{6}) + cos^2(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: 1

6.10 a) $ \text{tg} \frac{\pi}{5} \cdot \text{ctg} \frac{\pi}{5}; $

Б) $ 3 \text{tg} 2,3 \cdot \text{ctg} 2,3; $

В) $ \text{tg} \frac{\pi}{7} \cdot \text{ctg} \frac{\pi}{7}; $

Г) $ 7 \text{tg} \frac{\pi}{12} \cdot \text{ctg} \frac{\pi}{12}. $

а) Для решения данного примера используется основное тригонометрическое тождество, которое гласит, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$. Это тождество справедливо для всех углов $\alpha$, для которых $tg\alpha$ и $ctg\alpha$ определены (то есть $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — целое число).
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{5}$. Этот угол не попадает под ограничения, поэтому тождество применимо.
$tg\frac{\pi}{5} \cdot ctg\frac{\pi}{5} = 1$.
Ответ: 1

б) В этом выражении можно вынести числовой коэффициент 3 за скобки.
$3tg(2,3) \cdot ctg(2,3) = 3 \cdot (tg(2,3) \cdot ctg(2,3))$.
Далее, как и в предыдущем пункте, применяем тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$. Здесь угол $\alpha = 2,3$ радиана. Данное значение угла не приводит к неопределенности тангенса или котангенса.
Следовательно, $tg(2,3) \cdot ctg(2,3) = 1$.
Подставляем это значение обратно в выражение: $3 \cdot 1 = 3$.
Ответ: 3

в) Снова используем основное тригонометрическое тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$.
В этом случае угол $\alpha = \frac{\pi}{7}$. Для этого угла функции тангенса и котангенса определены.
Таким образом, $tg\frac{\pi}{7} \cdot ctg\frac{\pi}{7} = 1$.
Ответ: 1

г) Аналогично пункту б), выносим числовой коэффициент 7 за скобки.
$7tg\frac{\pi}{12} \cdot ctg\frac{\pi}{12} = 7 \cdot (tg\frac{\pi}{12} \cdot ctg\frac{\pi}{12})$.
Применяем тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$ для угла $\alpha = \frac{\pi}{12}$. Функции для данного угла определены.
Значит, $tg\frac{\pi}{12} \cdot ctg\frac{\pi}{12} = 1$.
В результате получаем: $7 \cdot 1 = 7$.
Ответ: 7

6.11 Докажите тождество:

a) $ \sin t \cdot \cot t = \cos t $;

б) $ \frac{\sin t}{\tan t} = \cos t $;

в) $ \cot t \cdot \tan t = \sin t $;

г) $ \frac{\cos t}{\cot t} = \sin t $.

а)

Чтобы доказать тождество $ \sin t \cdot \operatorname{ctg} t = \cos t $, преобразуем его левую часть.
Используем определение котангенса: $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $.
Подставим это определение в левую часть равенства:
$ \sin t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} $
Сократим $ \sin t $ в числителе и знаменателе (это допустимо, так как для существования $ \operatorname{ctg} t $ необходимо, чтобы $ \sin t \neq 0 $):
$ \frac{\sin t \cdot \cos t}{\sin t} = \cos t $
В результате преобразования левая часть стала равна правой: $ \cos t = \cos t $.
Ответ: Тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $ \frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} = \cos t $, преобразуем его левую часть.
Используем определение тангенса: $ \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} $.
Подставим это определение в знаменатель левой части:
$ \frac{\sin t}{\frac{\sin t}{\cos t}} $
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь:
$ \sin t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} $
Сократим $ \sin t $ (при условии, что $ \sin t \neq 0 $, иначе $ \operatorname{tg} t = 0 $ и деление на ноль невозможно):
$ \frac{\sin t \cdot \cos t}{\sin t} = \cos t $
Левая часть стала равна правой: $ \cos t = \cos t $.
Ответ: Тождество доказано.

в)

Рассмотрим левую часть равенства $ \operatorname{ctg} t \cdot \operatorname{tg} t = \sin t $.
По определению, $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $ и $ \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} $.
Их произведение является основным тригонометрическим тождеством:
$ \operatorname{ctg} t \cdot \operatorname{tg} t = \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = 1 $ (при $ \sin t \neq 0 $ и $ \cos t \neq 0 $).
Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде $ 1 = \sin t $. Это равенство не является тождеством, так как оно верно лишь для конкретных значений $ t $ (например, $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $), а не для всех допустимых значений переменной.
Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и имелось в виду тождество $ \cos t \cdot \operatorname{tg} t = \sin t $. Докажем его.
Преобразуем левую часть:
$ \cos t \cdot \operatorname{tg} t = \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} $
Сокращая на $ \cos t $ (при $ \cos t \neq 0 $), получаем:
$ \sin t $
Левая часть равна правой: $ \sin t = \sin t $.
Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Вероятно, имелось в виду тождество $ \cos t \cdot \operatorname{tg} t = \sin t $, которое было доказано.

г)

Чтобы доказать тождество $ \frac{\cos t}{\operatorname{ctg} t} = \sin t $, преобразуем левую часть выражения.
Используем определение котангенса: $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $.
Подставим его в знаменатель дроби:
$ \frac{\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}} $
Преобразуем многоэтажную дробь, умножив числитель на дробь, обратную знаменателю:
$ \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} $
Сократим $ \cos t $ (при условии, что $ \cos t \neq 0 $, иначе $ \operatorname{ctg} t = 0 $ и деление на ноль невозможно):
$ \frac{\cos t \cdot \sin t}{\cos t} = \sin t $
Левая часть стала равна правой: $ \sin t = \sin t $.
Ответ: Тождество доказано.

6.7 a) $\sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right) + \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 \cdot \sin \frac{\pi}{2};$

б) $\cos \frac{5\pi}{3} + \cos \frac{4\pi}{3} + \sin \frac{3\pi}{2} \cdot \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{2}.$

а) Вычислим значение выражения $\sin(-\frac{3\pi}{4}) + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{2} + \cos0 \cdot \sin\frac{\pi}{2}$ по частям.

1. Найдем значение $\sin(-\frac{3\pi}{4})$. Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin(x)$. $\sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4})$. Далее, используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, получаем: $-\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдем значение $\cos(-\frac{\pi}{4})$. Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$. $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Вычислим произведение $\sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{2}$. Известно, что $\cos\frac{\pi}{2} = 0$. Следовательно, все произведение равно нулю: $\sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 = 0$.

4. Вычислим произведение $\cos0 \cdot \sin\frac{\pi}{2}$. Известно, что $\cos0 = 1$ и $\sin\frac{\pi}{2} = 1$: $\cos0 \cdot \sin\frac{\pi}{2} = 1 \cdot 1 = 1$.

5. Подставим все найденные значения в исходное выражение: $\sin(-\frac{3\pi}{4}) + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{2} + \cos0 \cdot \sin\frac{\pi}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

б) Вычислим значение выражения $\cos\frac{5\pi}{3} + \cos\frac{4\pi}{3} + \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2}$ по частям.

1. Найдем значение $\cos\frac{5\pi}{3}$. Используем формулу приведения $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$: $\cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

2. Найдем значение $\cos\frac{4\pi}{3}$. Используем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$: $\cos\frac{4\pi}{3} = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

3. Рассмотрим третье слагаемое: $\sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2}$. Известно, что $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$. Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, все произведение равно нулю: $\sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot 0 = 0$.

4. Подставим все найденные значения в исходное выражение: $\cos\frac{5\pi}{3} + \cos\frac{4\pi}{3} + \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2} = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) + 0 = 0$.

Ответ: 0

6.12 Упростите выражение:

a) $sint \cdot cost \cdot tgt;$

б) $sint \cdot cost \cdot ctgt - 1;$

В) $\sin^2t - tgt \cdot ctgt;$

Г) $\frac{1 - \cos^2t}{1 - \sin^2t}.$

а) Для упрощения выражения $ \sin t \cdot \cos t \cdot \text{tg} t $ воспользуемся определением тангенса: $ \text{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} $.

Подставим это определение в исходное выражение:

$ \sin t \cdot \cos t \cdot \text{tg} t = \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} $

Сократим $ \cos t $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \cos t \neq 0 $):

$ \sin t \cdot \sin t = \sin^2 t $

Ответ: $ \sin^2 t $

б) Упростим выражение $ \sin t \cdot \cos t \cdot \text{ctg} t - 1 $. Воспользуемся определением котангенса: $ \text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $.

Подставим это определение в выражение:

$ \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} - 1 $

Сократим $ \sin t $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin t \neq 0 $):

$ \cos t \cdot \cos t - 1 = \cos^2 t - 1 $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, из которого следует, что $ \cos^2 t - 1 = -\sin^2 t $.

Ответ: $ -\sin^2 t $

в) Рассмотрим выражение $ \sin^2 t - \text{tg} t \cdot \text{ctg} t $. Используем тождество $ \text{tg} t \cdot \text{ctg} t = 1 $ (при условии, что $ \sin t \neq 0 $ и $ \cos t \neq 0 $).

Подставим это в выражение:

$ \sin^2 t - 1 $

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $ следует, что $ \sin^2 t - 1 = -\cos^2 t $.

Ответ: $ -\cos^2 t $

г) Упростим дробь $ \frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t} $. Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

Из него следуют два равенства:

$ 1 - \cos^2 t = \sin^2 t $

$ 1 - \sin^2 t = \cos^2 t $

Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби:

$ \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} $

По определению тангенса $ \text{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} $, следовательно, $ \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = (\frac{\sin t}{\cos t})^2 = \text{tg}^2 t $.

Ответ: $ \text{tg}^2 t $