Номер 3.5, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§3. Обратная функция. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 3.5, страница 10.

3.5 Выясните, существует ли обратная функция для заданной функции. Если да, то задайте обратную функцию аналитически, постройте график заданной и обратной функций:

а) $y = x^2 + 4x - 8, x \in [-3; 0];$

б) $y = x^2 + 4x - 8, x \in (-\infty; -2);$

в) $y = -x^2 + 2x + 6, x \in [0; 3];$

г) $y = -x^2 + 2x + 6, x \in [3; +\infty).$

а) $y = x^2 + 4x - 8, x \in [-3; 0]$

Для существования обратной функции необходимо, чтобы исходная функция была строго монотонной на заданной области определения. Исследуем функцию на монотонность.

Данная функция — квадратичная, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх. Найдём абсциссу вершины параболы:

$x_в = - \frac{b}{2a} = - \frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Координата вершины по оси абсцисс $x = -2$ принадлежит заданному промежутку $[-3; 0]$. Это означает, что на отрезке $[-3; -2]$ функция убывает, а на отрезке $[-2; 0]$ — возрастает. Так как функция не является строго монотонной на всём промежутке $[-3; 0]$, то обратная функция для неё не существует.

Это можно показать, найдя два разных значения аргумента, для которых функция принимает одинаковое значение. Например, $y(-3) = (-3)^2 + 4(-3) - 8 = 9 - 12 - 8 = -11$ и $y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) - 8 = 1 - 4 - 8 = -11$. Поскольку $y(-3) = y(-1)$ при $-3 \neq -1$, функция не является взаимно-однозначной на данном отрезке.

Ответ: Обратная функция не существует.

б) $y = x^2 + 4x - 8, x \in (-\infty; -2)$

Это та же квадратичная функция $y = x^2 + 4x - 8$ с вершиной в точке $x_в = -2$. Заданная область определения $x \in (-\infty; -2)$ — это промежуток слева от вершины параболы. На этом промежутке функция является строго убывающей (её производная $y' = 2x+4$ отрицательна при $x < -2$). Следовательно, обратная функция существует.

Найдём аналитическое выражение для обратной функции. Для этого выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2 + 4x - 8$. Поменяем переменные местами: $x = y^2 + 4y - 8$. Решим это уравнение относительно $y$:

$y^2 + 4y - (x+8) = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(x+8))}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4x + 32}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4x + 48}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{x + 12}}{2} = -2 \pm \sqrt{x + 12}$.

Область определения исходной функции $D(f) = (-\infty; -2)$. Эта область является областью значений для обратной функции, то есть $R(f^{-1}) = (-\infty; -2)$. Из двух полученных вариантов, $y = -2 + \sqrt{x+12}$ (значения $\ge -2$) и $y = -2 - \sqrt{x+12}$ (значения $\le -2$), нам подходит второй, так как он удовлетворяет условию $y < -2$.

Итак, обратная функция: $y = -2 - \sqrt{x + 12}$.

Найдём область определения обратной функции. Она совпадает с областью значений исходной функции. При $x \in (-\infty; -2)$ функция $y = x^2 + 4x - 8$ убывает от $+\infty$ до значения в вершине $y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 8 = -12$. Таким образом, $R(f) = (-12; +\infty)$. Это и есть область определения обратной функции: $D(f^{-1}) = (-12; +\infty)$.

График исходной функции $y = x^2 + 4x - 8$ на $x \in (-\infty; -2)$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(-2, -12)$, ветви которой направлены вверх. График обратной функции $y = -2 - \sqrt{x + 12}$ — это нижняя ветвь параболы с вершиной в точке $(-12, -2)$, ветви которой направлены влево. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция существует, $y = -2 - \sqrt{x + 12}$, её область определения $D(y) = (-12; +\infty)$.

в) $y = -x^2 + 2x + 6, x \in [0; 3]$

Исследуем функцию на монотонность. Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), значит, ветви параболы направлены вниз. Найдём абсциссу вершины:

$x_в = - \frac{b}{2a} = - \frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Абсцисса вершины $x = 1$ принадлежит заданному промежутку $[0; 3]$. На отрезке $[0; 1]$ функция возрастает, а на отрезке $[1; 3]$ — убывает. Поскольку функция не является строго монотонной на всём промежутке $[0; 3]$, обратная функция для неё не существует.

Например, $y(0) = -0^2 + 2(0) + 6 = 6$ и $y(2) = -2^2 + 2(2) + 6 = -4 + 4 + 6 = 6$. Разным значениям аргумента ($0 \neq 2$) соответствует одно и то же значение функции.

Ответ: Обратная функция не существует.

г) $y = -x^2 + 2x + 6, x \in [3; +\infty)$

Это та же парабола $y = -x^2 + 2x + 6$ с вершиной в точке $x_в = 1$. Область определения $x \in [3; +\infty)$ — это промежуток справа от вершины. На этом промежутке функция является строго убывающей (её производная $y' = -2x+2$ отрицательна при $x \ge 3$). Следовательно, обратная функция существует.

Найдём её аналитическое выражение. Поменяем переменные в уравнении $y = -x^2 + 2x + 6$ местами: $x = -y^2 + 2y + 6$. Решим относительно $y$:

$y^2 - 2y + (x - 6) = 0$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (x-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4x + 24}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28 - 4x}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7 - x}}{2} = 1 \pm \sqrt{7 - x}$.

Область определения исходной функции $D(f) = [3; +\infty)$ является областью значений для обратной функции, т.е. $R(f^{-1}) = [3; +\infty)$. Из двух вариантов $y = 1 + \sqrt{7-x}$ (значения $\ge 1$) и $y = 1 - \sqrt{7-x}$ (значения $\le 1$) нам подходит первый, так как только он может давать значения в промежутке $[3; +\infty)$.

Итак, обратная функция: $y = 1 + \sqrt{7 - x}$.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной. На промежутке $[3; +\infty)$ функция $y = -x^2 + 2x + 6$ убывает. Её максимальное значение достигается в точке $x=3$ и равно $y(3) = -3^2 + 2(3) + 6 = 3$. При $x \to +\infty$, $y \to -\infty$. Таким образом, $R(f) = (-\infty; 3]$. Это и есть область определения обратной функции: $D(f^{-1}) = (-\infty; 3]$.

График исходной функции $y = -x^2 + 2x + 6$ на $x \in [3; +\infty)$ — это часть правой ветви параболы, направленной вниз, начинающаяся в точке $(3, 3)$. График обратной функции $y = 1 + \sqrt{7 - x}$ — это часть верхней ветви параболы, направленной влево, которая также проходит через точку $(3, 3)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция существует, $y = 1 + \sqrt{7 - x}$, её область определения $D(y) = (-\infty; 3]$.