Номер 3.4, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 1. Числовые функции. §3. Обратная функция - номер 3.4, страница 9.

Условие.

3.4 а) $y = x^3$;

б) $y = (x - 2)^3$;

В) $y = 1 - x^3$;

Г) $y = (x + 3)^3 - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $y = x^3$

Это основная функция, график которой называется кубической параболой. Для построения и анализа графика рассмотрим его основные свойства:
1. Область определения функции — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений функции — также все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Функция является нечетной, поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат, точки $O(0;0)$.
4. Функция является строго возрастающей на всей своей области определения.
5. Для построения графика можно найти несколько ключевых точек: если $x=0$, то $y=0$; если $x=1$, то $y=1$; если $x=-1$, то $y=-1$; если $x=2$, то $y=8$; если $x=-2$, то $y=-8$. График проходит через точки $(-2; -8)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 8)$.

Ответ: Графиком функции является кубическая парабола, которая проходит через начало координат, симметрична относительно него и возрастает на всей числовой оси.

б) $y = (x - 2)^3$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = x^3$ с помощью геометрических преобразований.
Преобразование имеет вид $y = f(x - a)$. В данном случае $f(x) = x^3$ и $a = 2$.
Такое преобразование соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = x^3$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $a$ единиц. Поскольку $a = 2 > 0$, сдвиг выполняется на 2 единицы вправо.
Каждая точка графика $y = x^3$ смещается на 2 единицы вправо. Например, центр симметрии из точки $(0; 0)$ перемещается в точку $(2; 0)$.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^3$ получается путем сдвига графика функции $y = x^3$ на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

в) $y = 1 - x^3$

График этой функции можно получить из графика $y = x^3$ путем выполнения последовательности преобразований. Удобнее представить функцию в виде $y = -x^3 + 1$.
1. Первое преобразование: $y_1 = -x^3$. Это преобразование вида $y = -f(x)$. Оно означает симметричное отражение графика функции $y = x^3$ относительно оси абсцисс ($Ox$). Если график $y = x^3$ был возрастающим, то график $y = -x^3$ будет убывающим.
2. Второе преобразование: $y = y_1 + 1$ или $y = -x^3 + 1$. Это преобразование вида $y = g(x) + b$, где $g(x) = -x^3$ и $b = 1$. Оно соответствует параллельному переносу графика $y_1 = -x^3$ вдоль оси ординат ($Oy$) на $b$ единиц. Так как $b=1>0$, сдвиг выполняется на 1 единицу вверх.
Таким образом, центр симметрии из точки $(0; 0)$ после отражения остается на месте, а после сдвига вверх перемещается в точку $(0; 1)$.

Ответ: График функции $y = 1 - x^3$ получается в результате двух преобразований графика $y = x^3$: сначала симметричное отражение относительно оси $Ox$, а затем сдвиг полученного графика на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

г) $y = (x + 3)^3 - 1$

График данной функции получается из графика $y = x^3$ с помощью двух параллельных переносов.
Преобразование имеет общий вид $y = f(x - a) + b$. В нашем случае $f(x) = x^3$, $a = -3$ (поскольку $x+3 = x - (-3)$) и $b = -1$.
1. Сначала выполним сдвиг по горизонтали: $y_1 = (x+3)^3$. Это соответствует параллельному переносу графика $y=x^3$ вдоль оси $Ox$ на 3 единицы влево (так как $a = -3 < 0$).
2. Затем выполним сдвиг по вертикали: $y = y_1 - 1$ или $y = (x + 3)^3 - 1$. Это соответствует параллельному переносу графика $y_1=(x+3)^3$ вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вниз (так как $b = -1 < 0$).
В результате этих двух сдвигов центр симметрии графика переместится из точки $(0; 0)$ в точку $(-3; -1)$.

Ответ: График функции $y = (x + 3)^3 - 1$ получается путем сдвига графика функции $y = x^3$ на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$ и на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.