Номер 4.2, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§4. Числовая окружность. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 4.2, страница 12.

4.2 Первая четверть разделена на две равные части точкой $M$, а четвёртая — на три равные части точками $K$ и $P$. Чему равна длина дуги: $AM$, $BD$, $CK$, $MP$, $DM$, $MK$, $CP$, $PC$?

Для решения задачи будем использовать модель единичной окружности, на которой длина дуги измеряется в радианах. Полный оборот по окружности составляет $2\pi$ радиан. Четверть окружности имеет длину дуги, равную $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Примем стандартное расположение точек на координатных осях, которые делят окружность на четыре четверти:

• Точка A соответствует началу отсчета, угол $0$ радиан.
• Точка B — конец первой четверти, угол $\frac{\pi}{2}$ радиан.
• Точка C — конец второй четверти, угол $\pi$ радиан.
• Точка D — конец третьей четверти, угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан.

Длину дуги XY будем находить как расстояние от точки X до точки Y при движении против часовой стрелки.

Согласно условию:

1. Первая четверть (дуга AB) разделена точкой M на две равные части. Это значит, что M — середина дуги AB. Её угол равен $\alpha_M = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ радиан.

2. Четвертая четверть (дуга DA, от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$) разделена точками K и P на три равные части. Длина каждой такой части составляет $\frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$ радиан. При движении против часовой стрелки от D к A точки располагаются в порядке D, K, P, A.

• Угол точки K: $\alpha_K = \alpha_D + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi + \pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$ радиан.
• Угол точки P: $\alpha_P = \alpha_K + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi + \pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ радиан.

Теперь вычислим длины требуемых дуг.

AM

Длина дуги от точки A (угол $0$) до точки M (угол $\frac{\pi}{4}$) равна разности их угловых величин: $l_{AM} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

BD

Длина дуги от точки B (угол $\frac{\pi}{2}$) до точки D (угол $\frac{3\pi}{2}$) равна: $l_{BD} = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$

CK

Длина дуги от точки C (угол $\pi$) до точки K (угол $\frac{5\pi}{3}$) равна: $l_{CK} = \frac{5\pi}{3} - \pi = \frac{5\pi - 3\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

MP

Длина дуги от точки M (угол $\frac{\pi}{4}$) до точки P (угол $\frac{11\pi}{6}$) равна: $l_{MP} = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{22\pi - 3\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{19\pi}{12}$

DM

Движение от D (угол $\frac{3\pi}{2}$) к M (угол $\frac{\pi}{4}$) происходит через точку A (начало отсчета). Длину дуги можно найти, сложив длины дуг DA и AM: $l_{DM} = l_{DA} + l_{AM} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi + \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

MK

Длина дуги от точки M (угол $\frac{\pi}{4}$) до точки K (угол $\frac{5\pi}{3}$) равна: $l_{MK} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{20\pi - 3\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{17\pi}{12}$

CP

Длина дуги от точки C (угол $\pi$) до точки P (угол $\frac{11\pi}{6}$) равна: $l_{CP} = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{11\pi - 6\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

PC

Движение от P (угол $\frac{11\pi}{6}$) к C (угол $\pi$) происходит через точку A. Длину дуги можно найти, сложив длины дуг PA и AC. Длина дуги PA равна $\frac{\pi}{6}$ (треть четвертой четверти). Длина дуги AC равна $\pi$ (первая и вторая четверти). Итак, $l_{PC} = l_{PA} + l_{AC} = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{6}$