Номер 2.15, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.15, страница 9.

2.15 $y = \begin{cases} x^3, & \text{если } x < 0, \\ -x^2 + 2x + 2, & \text{если } 0 \le x \le 2, \\ x, & \text{если } 2 < x \le 4. \end{cases}$

Для полного анализа данной кусочно-заданной функции выполним следующие действия: найдем область определения и область значений, исследуем на непрерывность, найдем промежутки монотонности и точки экстремума, а также опишем построение графика.

1. Область определения функции

Функция определена на трех интервалах: $x < 0$, $0 \le x \le 2$ и $2 < x \le 4$. Область определения функции $D(y)$ является объединением этих промежутков.

$D(y) = (-\infty, 0) \cup [0, 2] \cup (2, 4]$

Объединяя эти множества, получаем:

$D(y) = (-\infty, 4]$

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty, 4]$.

2. Исследование на непрерывность

Функция задана тремя элементарными функциями, каждая из которых непрерывна на своем интервале. Поэтому разрывы могут произойти только в точках, где меняется аналитическое выражение функции, то есть в точках $x = 0$ и $x = 2$.

Проверка в точке $x = 0$:

Найдем левосторонний предел (при $x \to 0^-$ используется формула $y=x^3$):

$\lim_{x\to 0^-} y = \lim_{x\to 0^-} x^3 = 0^3 = 0$

Найдем значение функции в точке $x=0$ (при $x=0$ используется формула $y=-x^2+2x+2$):

$y(0) = -(0)^2 + 2(0) + 2 = 2$

Так как левосторонний предел не равен значению функции в точке ($0 \ne 2$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=0$.

Проверка в точке $x = 2$:

Найдем значение функции в точке $x=2$ и левосторонний предел (при $x \le 2$ используется формула $y=-x^2+2x+2$):

$y(2) = \lim_{x\to 2^-} y = -(2)^2 + 2(2) + 2 = -4 + 4 + 2 = 2$

Найдем правосторонний предел (при $x > 2$ используется формула $y=x$):

$\lim_{x\to 2^+} y = \lim_{x\to 2^+} x = 2$

Так как левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=2$ равны, функция непрерывна в этой точке.

Ответ: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty, 4]$, за исключением точки $x=0$, в которой она терпит разрыв первого рода (скачок).

3. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума

Исследуем монотонность функции на каждом интервале с помощью производной $y'$.

1) Интервал $x < 0$:

$y = x^3 \Rightarrow y' = 3x^2$.

Поскольку $y' = 3x^2 > 0$ для всех $x < 0$, функция строго возрастает на интервале $(-\infty, 0)$.

2) Интервал $0 \le x \le 2$:

$y = -x^2 + 2x + 2 \Rightarrow y' = -2x + 2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-2x + 2 = 0$, откуда $x = 1$. Эта точка принадлежит отрезку $[0, 2]$.

Если $0 < x < 1$, то $y' > 0$, значит функция возрастает.

Если $1 < x < 2$, то $y' < 0$, значит функция убывает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, $x=1$ является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 2 = 3$.

3) Интервал $2 < x \le 4$:

$y = x \Rightarrow y' = 1$.

Поскольку $y' = 1 > 0$, функция строго возрастает на интервале $(2, 4]$.

Итоги по экстремумам:

Точка локального максимума: $(1, 3)$.

В точке $x=2$ функция убывала до значения $y(2)=2$ и начинает возрастать после нее, значит $x=2$ — точка локального минимума. Значение: $y_{min} = y(2) = 2$.

Для определения глобальных экстремумов сравним значения в точках локальных экстремумов и на концах области определения. Глобального минимума нет, так как $y \to -\infty$ при $x \to -\infty$. Глобальный максимум находится сравнением $y(1)=3$ и $y(4)=4$. Наибольшее значение функции равно 4.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$, $[0, 1]$ и $(2, 4]$. Функция убывает на промежутке $[1, 2]$. Точка локального максимума: $(1, 3)$. Точка локального минимума: $(2, 2)$. Глобальный максимум $y_{max}=4$ достигается в точке $x=4$. Глобального минимума не существует.

4. Область значений функции

Найдем множество всех значений, которые принимает функция $y$.

На $(-\infty, 0)$, функция $y=x^3$ принимает значения из $(-\infty, 0)$.

На $[0, 2]$, функция $y = -x^2 + 2x + 2$ имеет минимум в точках $y(0)=2$ и $y(2)=2$, а максимум в точке $y(1)=3$. Значения на этом отрезке принадлежат $[2, 3]$.

На $(2, 4]$, функция $y=x$ принимает значения из $(2, 4]$.

Объединим полученные множества: $E(y) = (-\infty, 0) \cup [2, 3] \cup (2, 4] = (-\infty, 0) \cup [2, 4]$.

Ответ: Область значений функции: $E(y) = (-\infty, 0) \cup [2, 4]$.

5. Построение графика

График функции состоит из трех частей:

1. При $x < 0$ — это график функции $y=x^3$ (кубическая парабола), проходящий через точки $(-1, -1)$, $(-2, -8)$ и приближающийся к точке $(0, 0)$, которая является выколотой.

2. При $0 \le x \le 2$ — это дуга параболы $y=-x^2+2x+2$ с ветвями вниз. График начинается в точке $(0, 2)$ (закрашенная), достигает вершины (максимума) в точке $(1, 3)$ и опускается до точки $(2, 2)$ (закрашенная).

3. При $2 < x \le 4$ — это отрезок прямой $y=x$, который начинается в точке $(2, 2)$ (которая уже включена предыдущим участком) и заканчивается в точке $(4, 4)$ (закрашенная).

Ответ: График представляет собой комбинацию ветви кубической параболы, дуги параболы и отрезка прямой, с разрывом-скачком в точке $x=0$ от $y=0$ до $y=2$. В точке $x=2$ график непрерывен.