Номер 2.8, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.8, страница 8.

2.8 а) $y = 3 - 2x, x \in [-1; 3];$

б) $y = -2x^2 + 2x, x \in [-3; 2];$

В) $y = 3 - 4x, x \in (-\infty; 3];$

Г) $y = x^2 + 4x + 5, x \in (0; 1].$

а) Функция $y = 3 - 2x$ является линейной, её график — прямая. Коэффициент при $x$ равен $-2$, он отрицательный, следовательно, функция является убывающей на всей области определения. Чтобы найти область значений на отрезке $x \in [-1; 3]$, нужно найти значения функции на концах этого отрезка. Наибольшее значение будет в левой точке, а наименьшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x = -1$: $y(-1) = 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$. Это наибольшее значение функции на отрезке.

При $x = 3$: $y(3) = 3 - 2(3) = 3 - 6 = -3$. Это наименьшее значение функции на отрезке.

Таким образом, область значений функции на отрезке $[-1; 3]$ — это все значения от $-3$ до $5$ включительно.

Ответ: $E(y) = [-3; 5]$.

б) Функция $y = -2x^2 + 2x$ является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{2}{2(-2)} = -\frac{2}{-4} = 0.5$.

Поскольку $x_в = 0.5$ принадлежит отрезку $[-3; 2]$, наибольшее значение функции на этом отрезке будет в вершине.

Найдем ординату вершины (наибольшее значение функции):

$y_{наиб} = y(0.5) = -2(0.5)^2 + 2(0.5) = -2(0.25) + 1 = -0.5 + 1 = 0.5$.

Наименьшее значение на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах отрезка $[-3; 2]$:

$y(-3) = -2(-3)^2 + 2(-3) = -2(9) - 6 = -18 - 6 = -24$.

$y(2) = -2(2)^2 + 2(2) = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4$.

Сравнивая эти значения, находим наименьшее: $y_{наим} = -24$.

Область значений функции — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения.

Ответ: $E(y) = [-24; 0.5]$.

в) Функция $y = 3 - 4x$ является линейной, убывающей, так как коэффициент при $x$ отрицателен ($-4$). Функция рассматривается на промежутке $x \in (-\infty; 3]$.

Поскольку функция убывающая, наименьшее значение на заданном промежутке она будет принимать в точке с наибольшим значением $x$, то есть при $x = 3$.

$y_{наим} = y(3) = 3 - 4(3) = 3 - 12 = -9$.

Так как $x$ может принимать сколь угодно малые (сколь угодно большие по модулю отрицательные) значения, то значение $y$ может быть сколь угодно большим:

$\lim_{x \to -\infty} (3 - 4x) = +\infty$.

Таким образом, функция не ограничена сверху. Область значений — это все числа от $-9$ включительно до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = [-9; +\infty)$.

г) Функция $y = x^2 + 4x + 5$ является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положительный, значит, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функция принимает в вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(1)} = -2$.

Абсцисса вершины $x_в = -2$ не принадлежит заданному промежутку $x \in (0; 1]$. На промежутке $(-\infty; -2]$ функция убывает, а на промежутке $[-2; +\infty)$ — возрастает. Так как наш промежуток $(0; 1]$ целиком лежит правее вершины, функция на нем является возрастающей.

Для возрастающей функции на интервале $(a; b]$ область значений будет $(y(a); y(b)]$.

Найдем значения функции на границах промежутка $(0; 1]$:

При $x \to 0$ (слева интервал открытый): $y(0) = 0^2 + 4(0) + 5 = 5$. Это значение не включается в область значений.

При $x = 1$ (справа интервал закрытый): $y(1) = 1^2 + 4(1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10$. Это значение включается в область значений и является наибольшим.

Следовательно, область значений функции на данном промежутке — это все значения от $5$ (не включая) до $10$ (включая).

Ответ: $E(y) = (5; 10]$.