Номер 2.4, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.4, страница 7.

2.4 а) $y = x^3 + 2x;$

б) $y = 5 - x^3 - 6x^9;$

В) $y = 4 - x^5;$

Г) $y = x^7 + x^5 - 3.$

а) $y = x^3 + 2x$

Для нахождения производной функции $y'$ используем правила дифференцирования. Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $(u+v)' = u' + v'$. Также нам понадобятся правило производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

Применим эти правила к нашей функции:

$y' = (x^3 + 2x)' = (x^3)' + (2x)'$

Найдем производную каждого слагаемого:

$(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$

$(2x)' = 2 \cdot (x^1)' = 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 2x^0 = 2 \cdot 1 = 2$

Теперь сложим полученные результаты:

$y' = 3x^2 + 2$

Ответ: $y' = 3x^2 + 2$.

б) $y = 5 - x^3 - 6x^9$

Для нахождения производной $y'$ используем правило дифференцирования суммы/разности функций: $(u \pm v)' = u' \pm v'$. Также используем правило производной константы $(c)' = 0$ и правило производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (5 - x^3 - 6x^9)' = (5)' - (x^3)' - (6x^9)'$

Найдем производную каждого члена по отдельности:

Производная от константы 5 равна нулю: $(5)' = 0$.

Производная от $x^3$: $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Производная от $6x^9$: $(6x^9)' = 6 \cdot (x^9)' = 6 \cdot 9x^{9-1} = 54x^8$.

Теперь объединим результаты с учетом знаков:

$y' = 0 - 3x^2 - 54x^8 = -3x^2 - 54x^8$.

Ответ: $y' = -3x^2 - 54x^8$.

в) $y = 4 - x^5$

Применяем правило производной разности, производной константы и производной степенной функции.

$y' = (4 - x^5)' = (4)' - (x^5)'$

Производная от константы 4 равна нулю: $(4)' = 0$.

Производная от $x^5$: $(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

Вычитаем второе из первого:

$y' = 0 - 5x^4 = -5x^4$.

Ответ: $y' = -5x^4$.

г) $y = x^7 + x^5 - 3$

Используем те же правила дифференцирования для нахождения производной этой функции.

$y' = (x^7 + x^5 - 3)' = (x^7)' + (x^5)' - (3)'$

Находим производные для каждого члена:

Производная от $x^7$: $(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.

Производная от $x^5$: $(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

Производная от константы 3 равна нулю: $(3)' = 0$.

Складываем и вычитаем полученные результаты:

$y' = 7x^6 + 5x^4 - 0 = 7x^6 + 5x^4$.

Ответ: $y' = 7x^6 + 5x^4$.