Номер 2.10, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.10, страница 8.

2.10 a) $y = 2|x| - 1, x \in [-3; 2]$;

Б) $y = 3 - |2x|, x \in (-5; 4)$;

В) $y = 1,5 - |5x|, x \in [-8; 2]$;

Г) $y = 6|x| - 2, x \in [-10; 4)$.

а) $y = 2|x| - 1, x \in [-3; 2]$

Задача состоит в нахождении множества значений (области значений) функции на заданном промежутке.

1. Функция $y = 2|x| - 1$ представляет собой график модуля, растянутый в 2 раза вдоль оси OY и смещенный на 1 единицу вниз. Ветви графика направлены вверх, так как коэффициент перед модулем положителен ($2 > 0$).

2. Вершина графика находится в точке, где выражение под модулем равно нулю, то есть при $x=0$. Найдем значение функции в этой точке: $y(0) = 2|0| - 1 = -1$.

3. Проверим, принадлежит ли точка вершины $x=0$ заданному отрезку $[-3; 2]$. Да, $0 \in [-3; 2]$. Поскольку ветви направлены вверх, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения на данном отрезке: $y_{min} = -1$.

4. Теперь найдем значения функции на концах отрезка:
При $x = -3$: $y(-3) = 2|-3| - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$.
При $x = 2$: $y(2) = 2|2| - 1 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$.

5. Наибольшее значение функции на отрезке будет максимальным из значений, полученных на концах: $y_{max} = \max(y(-3), y(2)) = \max(5, 3) = 5$.

6. Область значений функции $E(y)$ на отрезке $[-3; 2]$ — это промежуток от наименьшего до наибольшего значения функции.
Ответ: $E(y) = [-1; 5]$.

---

б) $y = 3 - |2x|, x \in (-5; 4]$

1. Функция $y = 3 - |2x|$ представляет собой график модуля, отраженный относительно оси OX (ветви вниз, так как коэффициент перед модулем отрицателен), сжатый в 2 раза вдоль оси OX и смещенный на 3 единицы вверх.

2. Вершина графика находится при $x=0$. Значение функции в этой точке: $y(0) = 3 - |2 \cdot 0| = 3$.

3. Проверим, принадлежит ли точка вершины $x=0$ заданному промежутку $(-5; 4]$. Да, $0 \in (-5; 4]$. Поскольку ветви направлены вниз, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения: $y_{max} = 3$.

4. Найдем значения функции на концах промежутка. Обратим внимание, что один конец интервала не включается.
При $x = 4$ (включительно): $y(4) = 3 - |2 \cdot 4| = 3 - 8 = -5$.
При $x = -5$ (не включительно), найдем предел функции: $\lim_{x\to -5^+} (3 - |2x|) = 3 - |2 \cdot (-5)| = 3 - 10 = -7$. Значение -7 не достигается.

5. Наименьшее значение на промежутке — это меньшее из значений на концах. В данном случае, функция стремится к -7, но не достигает его. Наименьшее из достижимых значений — это -5. Однако, все значения между -7 и 3 (кроме -7) будут принадлежать области значений.

6. Таким образом, область значений функции $E(y)$ на промежутке $(-5; 4]$ — это полуинтервал от -7 (не включая) до 3 (включая).
Ответ: $E(y) = (-7; 3]$.

---

в) $y = 1,5 - |5x|, x \in [-8; 2]$

1. Функция $y = 1,5 - |5x|$ имеет график, ветви которого направлены вниз (коэффициент перед модулем отрицателен).

2. Вершина графика находится при $x=0$. Значение функции в этой точке: $y(0) = 1,5 - |5 \cdot 0| = 1,5$.

3. Точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-8; 2]$, следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно значению в вершине: $y_{max} = 1,5$.

4. Найдем значения функции на концах отрезка:
При $x = -8$: $y(-8) = 1,5 - |5 \cdot (-8)| = 1,5 - |-40| = 1,5 - 40 = -38,5$.
При $x = 2$: $y(2) = 1,5 - |5 \cdot 2| = 1,5 - |10| = 1,5 - 10 = -8,5$.

5. Наименьшее значение функции на отрезке — это наименьшее из значений на концах: $y_{min} = \min(-38,5; -8,5) = -38,5$.

6. Область значений функции $E(y)$ на отрезке $[-8; 2]$ — это промежуток от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $E(y) = [-38,5; 1,5]$.

---

г) $y = 6|x| - 2, x \in [-10; 4)$

1. Функция $y = 6|x| - 2$ имеет график, ветви которого направлены вверх (коэффициент $6 > 0$).

2. Вершина графика находится при $x=0$. Значение функции в этой точке: $y(0) = 6|0| - 2 = -2$.

3. Точка $x=0$ принадлежит промежутку $[-10; 4)$. Так как ветви направлены вверх, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения: $y_{min} = -2$.

4. Найдем значения функции на концах промежутка:
При $x = -10$ (включительно): $y(-10) = 6|-10| - 2 = 6 \cdot 10 - 2 = 58$.
При $x = 4$ (не включительно), найдем предел: $\lim_{x\to 4^-} (6|x| - 2) = 6|4| - 2 = 24 - 2 = 22$. Значение 22 не достигается.

5. Наибольшее значение функции определяется по тому концу промежутка, который дальше отстоит от вершины ($x=0$). Так как $|-10| > |4|$, наибольшее значение будет при $x=-10$. Поскольку $x=-10$ входит в область определения, $y_{max} = 58$.

6. Область значений функции $E(y)$ на промежутке $[-10; 4)$ — это промежуток от наименьшего значения (достигаемого в вершине) до наибольшего (достигаемого на левом конце).
Ответ: $E(y) = [-2; 58]$.