Номер 2.12, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.12, страница 8.

Постройте и прочитайте график функции:

2.12 $y = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x < 0, \\ 3\sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения и анализа ее графика рассмотрим каждую часть отдельно.

Функция задана как:$y = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x < 0 \\ 3\sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика

1. Построим график функции $y = \frac{3}{x}$ на промежутке $x < 0$. Это ветвь гиперболы, расположенная в III координатной четверти. Ось $y$ является вертикальной асимптотой, а ось $x$ — горизонтальной асимптотой. Составим таблицу нескольких ключевых точек:

x	-3	-2	-1	-0.5
y	-1	-1.5	-3	-6

2. Построим график функции $y = 3\sqrt{x}$ на промежутке $x \ge 0$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в I координатной четверти. Составим таблицу нескольких ключевых точек:

x	0	1	4	9
y	0	3	6	9

3. Объединим оба графика в одной системе координат. В результате получим график исходной функции. Он состоит из ветви гиперболы в третьей четверти и ветви параболы, начинающейся в точке (0,0) и идущей в первую четверть. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

Свойства функции (чтение графика)

1. Область определения функции

   Функция определена для $x < 0$ (где задана формула $y=3/x$) и для $x \ge 0$ (где задана формула $y=3\sqrt{x}$). Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.

   Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений функции

   При $x < 0$ функция $y=3/x$ принимает все отрицательные значения, т.е. $y \in (-\infty; 0)$. При $x \ge 0$ функция $y=3\sqrt{x}$ принимает все неотрицательные значения, т.е. $y \in [0; +\infty)$. Объединение этих двух множеств дает множество всех действительных чисел.

   Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции

   Для нахождения нулей функции решим уравнение $y=0$.
   На промежутке $x < 0$ уравнение $\frac{3}{x} = 0$ не имеет решений.
   На промежутке $x \ge 0$ уравнение $3\sqrt{x} = 0$ имеет единственный корень $x=0$.
   Следовательно, у функции один нуль.

   Ответ: $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства

   $y > 0$ при $3\sqrt{x} > 0$, что выполняется для $x > 0$.
   $y < 0$ при $\frac{3}{x} < 0$, что выполняется для $x < 0$.

   Ответ: функция положительна при $x \in (0; +\infty)$, функция отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания)

   На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y=3/x$ (гипербола с $k=3>0$) убывает.
   На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y=3\sqrt{x}$ возрастает.

   Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.

6. Точки экстремума и экстремумы функции

   В точке $x=0$ убывание функции сменяется возрастанием, следовательно, $x=0$ — точка минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = 3\sqrt{0} = 0$.

   Ответ: $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$.

7. Четность и нечетность функции

   Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим выполнение равенств $y(-x)=y(x)$ или $y(-x)=-y(x)$.
   Возьмем $x=4$. $y(4) = 3\sqrt{4} = 6$.
   $y(-4) = \frac{3}{-4} = -0.75$.
   Так как $y(-4) \neq y(4)$ и $y(-4) \neq -y(4)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

   Ответ: функция общего вида.

8. Непрерывность

   Функция непрерывна на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[0; +\infty)$ как элементарная. Исследуем точку "стыка" $x=0$.
   Найдем односторонние пределы в этой точке:
   Левосторонний предел: $\lim_{x\to 0^-} y(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{3}{x} = -\infty$.
   Значение функции в точке: $y(0) = 3\sqrt{0} = 0$.
   Так как левосторонний предел равен бесконечности, в точке $x=0$ функция терпит разрыв второго рода.

   Ответ: функция непрерывна на объединении промежутков $(-\infty; 0) \cup [0; +\infty)$. В точке $x=0$ она имеет разрыв второго рода.