Номер 2.11, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.11, страница 8.

2.11 Исследуйте функцию на чётность:

а) $y = x^2 + 2x^4 + 1;$

б) $y = \frac{x}{x^2 + 1};$

в) $y = \frac{-3x^2 + 1}{1 - x^4};$

г) $y = 5 - 3x^3.$

а) $y = x^2 + 2x^4 + 1$

Чтобы исследовать функцию на чётность, нужно проверить выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ (для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции). Обозначим данную функцию как $f(x) = x^2 + 2x^4 + 1$. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^2 + 2(-x)^4 + 1 = x^2 + 2x^4 + 1$. Сравнивая $f(-x)$ и $f(x)$, получаем: $f(-x) = x^2 + 2x^4 + 1 = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: чётная функция.

б) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любом $x$. Область определения симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = \frac{-x}{x^2 + 1} = - \frac{x}{x^2 + 1}$. Сравнивая $f(-x)$ и $-f(x)$, получаем: $f(-x) = - \frac{x}{x^2 + 1} = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: нечётная функция.

в) $y = \frac{-3x^2 + 1}{1 - x^4}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{-3x^2 + 1}{1 - x^4}$. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $1 - x^4 \neq 0 \implies x^4 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \frac{-3(-x)^2 + 1}{1 - (-x)^4} = \frac{-3x^2 + 1}{1 - x^4}$. Сравнивая $f(-x)$ и $f(x)$, получаем: $f(-x) = \frac{-3x^2 + 1}{1 - x^4} = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: чётная функция.

г) $y = 5 - 3x^3$

Обозначим функцию как $f(x) = 5 - 3x^3$. Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = 5 - 3(-x)^3 = 5 - 3(-x^3) = 5 + 3x^3$. Сравним полученное выражение с $f(x)$ и $-f(x)$: $f(-x) = 5 + 3x^3$. $f(x) = 5 - 3x^3$. $-f(x) = -(5 - 3x^3) = -5 + 3x^3$. Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
Ответ: ни чётная, ни нечётная функция.