Номер 2.9, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.9, страница 8.

2.9 a) $y = \sqrt{x}$, $x \in [2; +\infty)$;

Б) $y = -\sqrt{x}$, $x \in [1; 9];

В) $y = \sqrt{x}$, $x \in [1,44; 6,25];

Г) $y = -\sqrt{x}$, $x \in (0; 1,69]$.

Для нахождения множества значений функции (области значений) на заданном промежутке необходимо проанализировать ее поведение (возрастание или убывание) и вычислить значения на границах этого промежутка.

а)

Дана функция $y = \sqrt{x}$ на промежутке $x \in [2; +\infty)$.

Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается.

Следовательно, наименьшее значение функция примет в наименьшей точке заданного промежутка, то есть при $x = 2$.

$y_{min} = y(2) = \sqrt{2}$

Поскольку $x$ может принимать сколь угодно большие значения ($x \to +\infty$), значение функции $y$ также будет неограниченно возрастать ($y \to +\infty$).

Таким образом, область значений функции на заданном промежутке начинается от $\sqrt{2}$ (включительно) и уходит в бесконечность.

Ответ: $E(y) = [\sqrt{2}; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = -\sqrt{x}$ на отрезке $x \in [1; 9]$.

Функция $y = -\sqrt{x}$ является монотонно убывающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ уменьшается.

Следовательно, наибольшее значение функция примет в наименьшей точке отрезка ($x=1$), а наименьшее — в наибольшей ($x=9$).

$y_{max} = y(1) = -\sqrt{1} = -1$

$y_{min} = y(9) = -\sqrt{9} = -3$

Так как функция непрерывна на отрезке $[1; 9]$, она принимает все значения между $y_{min}$ и $y_{max}$.

Ответ: $E(y) = [-3; -1]$.

в)

Дана функция $y = \sqrt{x}$ на отрезке $x \in [1,44; 6,25]$.

Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей. Поэтому наименьшее значение функции будет соответствовать наименьшему значению аргумента, а наибольшее — наибольшему.

Найдем значения функции на границах отрезка:

$y_{min} = y(1,44) = \sqrt{1,44} = 1,2$

$y_{max} = y(6,25) = \sqrt{6,25} = 2,5$

Область значений функции — это отрезок между этими значениями.

Ответ: $E(y) = [1,2; 2,5]$.

г)

Дана функция $y = -\sqrt{x}$ на полуинтервале $x \in (0; 1,69]$.

Функция $y = -\sqrt{x}$ является убывающей. Следовательно, наименьшее значение функции будет соответствовать наибольшему значению аргумента, а наибольшее значение функции — наименьшему значению аргумента.

Наибольшее значение аргумента в промежутке равно $1,69$ (точка включена). В этой точке функция примет свое наименьшее значение:

$y_{min} = y(1,69) = -\sqrt{1,69} = -1,3$

Наименьшее значение аргумента в промежутке не достигается, $x$ только стремится к $0$ справа ($x \to 0^+$). Соответственно, значение функции $y$ будет стремиться к своему предельному значению, которое будет верхней границей для области значений:

$\lim_{x\to 0^+} (-\sqrt{x}) = -\sqrt{0} = 0$

Поскольку $x > 0$, то $\sqrt{x} > 0$, и $-\sqrt{x} < 0$. Таким образом, значение $y=0$ не достигается.

Область значений — это полуинтервал от $-1,3$ (включительно) до $0$ (не включая).

Ответ: $E(y) = [-1,3; 0)$.