Номер 2.5, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.5, страница 8.

2.5 a) $y = \sqrt{x^3 + 1}$;

б) $y = 5 - x^5 - \sqrt{2x^3}$;

В) $y = 2 - \sqrt{x}$;

Г) $y = \sqrt{x^7 + x - 1}$.

а) $y = \sqrt{x^3 + 1}$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом) и правилом дифференцирования степенной функции.

Представим функцию в виде $y = (x^3 + 1)^{1/2}$.

Производная сложной функции $(f(g(x)))'$ находится по формуле $f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $f(u) = u^{1/2}$, а внутренняя функция $g(x) = x^3 + 1$.

Найдем производные этих функций:

$f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$g'(x) = (x^3 + 1)' = (x^3)' + (1)' = 3x^2 + 0 = 3x^2$

Теперь подставим наши функции и их производные в формулу цепного правила:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot (3x^2)$

Упростим выражение:

$y' = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}$

Ответ: $y' = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}$

б) $y = 5 - x^5 - \sqrt{2x^3}$

Для нахождения производной будем использовать правило дифференцирования разности и правило дифференцирования степенной функции.

Перепишем функцию для удобства дифференцирования: $y = 5 - x^5 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^3} = 5 - x^5 - \sqrt{2}x^{3/2}$.

Производная разности функций равна разности их производных: $(u(x) - v(x) - w(x))' = u'(x) - v'(x) - w'(x)$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

$(5)' = 0$ (производная константы).

$(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$ (производная степенной функции).

$(\sqrt{2}x^{3/2})' = \sqrt{2} \cdot (x^{3/2})' = \sqrt{2} \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} = \frac{3\sqrt{2}}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\sqrt{x}$.

Теперь объединим результаты:

$y' = 0 - 5x^4 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\sqrt{x} = -5x^4 - \frac{3\sqrt{2x}}{2}$

Ответ: $y' = -5x^4 - \frac{3\sqrt{2x}}{2}$

в) $y = 2 - \sqrt{x}$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности и правило дифференцирования степенной функции.

Представим функцию в виде $y = 2 - x^{1/2}$.

Находим производную каждого слагаемого:

$(2)' = 0$ (производная константы).

$(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Следовательно, производная исходной функции равна:

$y' = (2 - x^{1/2})' = (2)' - (x^{1/2})' = 0 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

г) $y = \sqrt{x^7} + x - 1$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы/разности и правило дифференцирования степенной функции.

Перепишем функцию, представив корень в виде степени: $y = x^{7/2} + x - 1$.

Дифференцируем функцию почленно:

$y' = (x^{7/2})' + (x)' - (1)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

$(x^{7/2})' = \frac{7}{2}x^{7/2 - 1} = \frac{7}{2}x^{5/2}$.

$(x)' = 1$.

$(1)' = 0$.

Соберем все вместе:

$y' = \frac{7}{2}x^{5/2} + 1 - 0 = \frac{7}{2}x^{5/2} + 1$.

Выражение $x^{5/2}$ можно также записать как $x^2\sqrt{x}$, но форма с дробным показателем является стандартной.

Ответ: $y' = \frac{7}{2}x^{5/2} + 1$