Номер 2.1, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§2. Свойства функции. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 2.1, страница 7.

2.1 а) $y = 8x + 3$;

б) $y = 5 - 2x$;

В) $y = \frac{x}{3} + 1$;

Г) $y = \frac{1}{3} - \frac{2x}{5}$.

Задача заключается в нахождении производной для каждой из представленных функций. Производная функции $y = f(x)$ обозначается как $y'$ или $\frac{dy}{dx}$ и показывает скорость изменения функции.

Для решения будем использовать основные правила дифференцирования:

• Производная константы: $(c)' = 0$
• Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$. В частном случае, $(x)'=1$.
• Производная функции, умноженной на константу: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$. Отсюда следует, что $(kx)' = k$.
• Производная суммы/разности функций: $(u \pm v)' = u' \pm v'$.

Все представленные функции являются линейными и имеют общий вид $y = kx + b$. Производная такой функции всегда равна ее угловому коэффициенту $k$, так как $y' = (kx + b)' = (kx)' + (b)' = k + 0 = k$.

а) $y = 8x + 3$

Для нахождения производной данной функции применим правило дифференцирования суммы и основные формулы.

$y' = (8x + 3)' = (8x)' + (3)'$

Производная от слагаемого $8x$ равна коэффициенту при $x$, то есть $8$. Производная от константы $3$ равна нулю.

$y' = 8 + 0 = 8$

Ответ: $y' = 8$

б) $y = 5 - 2x$

Для нахождения производной применим правило дифференцирования разности. Удобно представить функцию в стандартном виде $y = -2x + 5$.

$y' = (5 - 2x)' = (5)' - (2x)'$

Производная от константы $5$ равна нулю. Производная от слагаемого $2x$ равна $2$.

$y' = 0 - 2 = -2$

Ответ: $y' = -2$

в) $y = \frac{x}{3} + 1$

Данную функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{3}x + 1$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{3}$.

Находим производную как производную суммы:

$y' = (\frac{1}{3}x + 1)' = (\frac{1}{3}x)' + (1)'$

Производная от слагаемого $\frac{1}{3}x$ равна $\frac{1}{3}$. Производная от константы $1$ равна нулю.

$y' = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}$

Ответ: $y' = \frac{1}{3}$

г) $y = \frac{1}{3} - \frac{2x}{5}$

Перепишем функцию в стандартном виде $y = -\frac{2}{5}x + \frac{1}{3}$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -\frac{2}{5}$.

Находим производную как производную разности:

$y' = (\frac{1}{3} - \frac{2}{5}x)' = (\frac{1}{3})' - (\frac{2}{5}x)'$

Производная от константы $\frac{1}{3}$ равна нулю. Производная от слагаемого $\frac{2}{5}x$ равна $\frac{2}{5}$.

$y' = 0 - \frac{2}{5} = -\frac{2}{5}$

Ответ: $y' = -\frac{2}{5}$