Номер 1.19, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§1. Определение числовой функции и способы её задания. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 1.19, страница 7.

1.19 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 5, & \text{если } -4 \le x < 0, \\ 5 - 2x, & \text{если } 0 \le x < 2, \\ \frac{2}{x}, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

a) Найдите $f(-5); f(-3); f(0); f(4)$;

б) постройте график функции;

в) найдите $D(f)$;

г) найдите $E(f)$.

а) Найдите $f(-5); f(-3); f(0); f(4)$

Для нахождения значений функции необходимо определить, для какого из трех промежутков выполняется условие, и подставить значение аргумента в соответствующую формулу.

• Для $f(-5)$: аргумент $x = -5$ не попадает ни в один из заданных промежутков ($[-4, 0)$, $[0, 2)$, $[2, +\infty)$), так как $-5 < -4$. Следовательно, функция в этой точке не определена.

• Для $f(-3)$: аргумент $x = -3$ удовлетворяет условию $-4 \le -3 < 0$. Используем первую формулу $f(x) = x^2 + 4x + 5$:
  $f(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$.

• Для $f(0)$: аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $0 \le 0 < 2$. Используем вторую формулу $f(x) = 5 - 2x$:
  $f(0) = 5 - 2(0) = 5$.

• Для $f(4)$: аргумент $x = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 2$. Используем третью формулу $f(x) = \frac{2}{x}$:
  $f(4) = \frac{2}{4} = 0.5$.

Ответ: $f(-5)$ не определена; $f(-3) = 2$; $f(0) = 5$; $f(4) = 0.5$.

б) постройте график функции

График функции строится по частям, для каждого промежутка отдельно.

1. На промежутке $[-4, 0)$ график функции $y = x^2 + 4x + 5$ является частью параболы с ветвями вверх. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$, $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 1$. Вершина $(-2, 1)$ принадлежит данному промежутку. Значения на концах промежутка: $f(-4) = 5$ (точка $(-4, 5)$ закрашенная), $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 5$ (точка $(0, 5)$ выколотая).

2. На промежутке $[0, 2)$ график функции $y = 5 - 2x$ является отрезком прямой. Значения на концах промежутка: $f(0) = 5$ (точка $(0, 5)$ закрашенная), $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$ (точка $(2, 1)$ выколотая). Заметим, что в точке $x=0$ функция непрерывна.

3. На промежутке $[2, +\infty)$ график функции $y = \frac{2}{x}$ является частью гиперболы. Значение в начальной точке: $f(2) = \frac{2}{2} = 1$ (точка $(2, 1)$ закрашенная). При $x \to +\infty$, $y \to 0$. В точке $x=2$ функция также непрерывна.

В результате получаем непрерывный график, состоящий из фрагмента параболы, отрезка прямой и ветви гиперболы.

Ответ: График функции представляет собой кривую, состоящую из трех частей: 1) Часть параболы $y = x^2 + 4x + 5$ с вершиной в $(-2, 1)$, начинающаяся в точке $(-4, 5)$ и заканчивающаяся в точке $(0, 5)$. 2) Отрезок прямой $y = 5 - 2x$, соединяющий точки $(0, 5)$ и $(2, 1)$. 3) Часть гиперболы $y = \frac{2}{x}$, начинающаяся в точке $(2, 1)$ и асимптотически приближающаяся к оси $Ox$ при $x \to +\infty$.

в) найдите $D(f)$

Область определения функции $D(f)$ есть объединение всех промежутков, на которых она задана:

$D(f) = [-4, 0) \cup [0, 2) \cup [2, +\infty)$.

Объединение этих множеств дает непрерывный промежуток, начинающийся с $-4$.

Ответ: $D(f) = [-4, +\infty)$.

г) найдите $E(f)$

Область значений функции $E(f)$ есть объединение множеств значений, которые функция принимает на каждом из трех промежутков.

• На $[-4, 0)$: функция $y = x^2 + 4x + 5$ имеет минимум в вершине $y(-2)=1$ и достигает максимума $y(-4)=5$. Область значений на этом участке: $[1, 5]$.

• На $[0, 2)$: функция $y = 5 - 2x$ линейно убывает от $y(0)=5$ до значения, к которому она стремится при $x \to 2$, то есть до $1$. Область значений на этом участке: $(1, 5]$.

• На $[2, +\infty)$: функция $y = \frac{2}{x}$ убывает от $y(2)=1$ и асимптотически стремится к $0$. Область значений на этом участке: $(0, 1]$.

Общая область значений $E(f)$ является объединением полученных множеств:

$E(f) = [1, 5] \cup (1, 5] \cup (0, 1] = (0, 5]$.

Ответ: $E(f) = (0, 5]$.