Номер 1.13, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 1. Числовые функции. §1. Определение числовой функции и способы её задания - номер 1.13, страница 5.

Условие.

1.13 Найдите область определения и область значений функции:

a) $y = \frac{1}{16x^2 - 49}$;

в) $y = \frac{1}{9 - 25x^2}$;

б) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 3}$;

г) $y = \sqrt{3x - x^2 + 18}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $y = \frac{1}{16x^2 - 49}$

Область определения:

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$16x^2 - 49 = 0$

$16x^2 = 49$

$x^2 = \frac{49}{16}$

$x = \pm\sqrt{\frac{49}{16}}$

$x = \pm\frac{7}{4}$

Таким образом, область определения функции ($D(y)$) — это все действительные числа, кроме $x = -\frac{7}{4}$ и $x = \frac{7}{4}$.

$D(y): x \in (-\infty; -\frac{7}{4}) \cup (-\frac{7}{4}; \frac{7}{4}) \cup (\frac{7}{4}; +\infty)$.

Область значений:

Чтобы найти область значений ($E(y)$), исследуем, какие значения может принимать знаменатель $z = 16x^2 - 49$. Это парабола с ветвями вверх, ее вершина находится в точке $x=0$, где $z = 16(0)^2 - 49 = -49$. Это минимальное значение знаменателя. Таким образом, знаменатель может принимать значения в диапазоне $[-49, +\infty)$. Однако, мы уже установили, что $z \neq 0$. Следовательно, множество значений знаменателя: $[-49, 0) \cup (0, +\infty)$.

Рассмотрим, какие значения принимает $y = \frac{1}{z}$:

• Если $z$ принимает значения из интервала $(0, +\infty)$, то $y$ принимает значения $(0, +\infty)$.
• Если $z$ принимает значения из интервала $[-49, 0)$, то $y$ принимает значения $(-\infty, -\frac{1}{49}]$.

Объединяя эти два случая, получаем область значений функции.

$E(y): y \in (-\infty; -\frac{1}{49}] \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -\frac{7}{4}) \cup (-\frac{7}{4}; \frac{7}{4}) \cup (\frac{7}{4}; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; -\frac{1}{49}] \cup (0; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 3}$

Область определения:

Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$x^2 + 4x + 3 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

График функции $f(x) = x^2 + 4x + 3$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на промежутках, где парабола находится выше или на оси абсцисс, то есть вне интервала между корнями.

$D(y): x \in (-\infty; -3] \cup [-1; +\infty)$.

Область значений:

По определению, арифметический квадратный корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$.

Рассмотрим подкоренное выражение $u(x) = x^2 + 4x + 3$ на области определения. Минимальное значение этого выражения достигается на границах области определения, то есть в точках $x=-3$ и $x=-1$. В этих точках $u(-3) = u(-1) = 0$. При $x \to \pm\infty$, $u(x) \to +\infty$.

Таким образом, подкоренное выражение принимает значения из промежутка $[0, +\infty)$. Следовательно, функция $y = \sqrt{u}$ будет принимать значения от $\sqrt{0}$ до $+\infty$.

$E(y): y \in [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -3] \cup [-1; +\infty)$. Область значений: $y \in [0; +\infty)$.

в) $y = \frac{1}{9 - 25x^2}$

Область определения:

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$9 - 25x^2 \neq 0$

$25x^2 \neq 9$

$x^2 \neq \frac{9}{25}$

$x \neq \pm\frac{3}{5}$

$D(y): x \in (-\infty; -\frac{3}{5}) \cup (-\frac{3}{5}; \frac{3}{5}) \cup (\frac{3}{5}; +\infty)$.

Область значений:

Рассмотрим знаменатель $z = 9 - 25x^2$. Это парабола с ветвями вниз, ее вершина находится в точке $x=0$, где $z = 9 - 25(0)^2 = 9$. Это максимальное значение знаменателя. Таким образом, знаменатель принимает значения в диапазоне $(-\infty, 9]$. Так как $z \neq 0$, множество значений знаменателя: $(-\infty, 0) \cup (0, 9]$.

Рассмотрим, какие значения принимает $y = \frac{1}{z}$:

• Если $z$ принимает значения из интервала $(0, 9]$, то $y$ принимает значения $[\frac{1}{9}, +\infty)$.
• Если $z$ принимает значения из интервала $(-\infty, 0)$, то $y$ принимает значения $(-\infty, 0)$.

Объединяя эти два случая, получаем область значений функции.

$E(y): y \in (-\infty; 0) \cup [\frac{1}{9}; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -0.6) \cup (-0.6; 0.6) \cup (0.6; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0) \cup [\frac{1}{9}; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{3x - x^2 + 18}$

Область определения:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательно:

$-x^2 + 3x + 18 \ge 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:

$x^2 - 3x - 18 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$.

График функции $f(x) = x^2 - 3x - 18$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

$D(y): x \in [-3; 6]$.

Область значений:

Функция $y$ принимает неотрицательные значения, $y \ge 0$. Чтобы найти максимальное значение $y$, нужно найти максимальное значение подкоренного выражения $u(x) = -x^2 + 3x + 18$ на отрезке $[-3; 6]$.

График $u(x)$ — парабола с ветвями вниз. Максимальное значение достигается в вершине. Координата вершины по оси $x$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2(-1)} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Так как $1.5 \in [-3; 6]$, то максимальное значение подкоренного выражения будет в этой точке:

$u_{max} = -(1.5)^2 + 3(1.5) + 18 = -2.25 + 4.5 + 18 = 20.25 = \frac{81}{4}$.

Минимальное значение подкоренного выражения на области определения равно 0 (в точках $x=-3$ и $x=6$).

Следовательно, подкоренное выражение принимает значения из отрезка $[0; 20.25]$. Тогда функция $y$ принимает значения от $\sqrt{0}$ до $\sqrt{20.25}$.

$y_{min} = 0$

$y_{max} = \sqrt{20.25} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4.5$

$E(y): y \in [0; 4.5]$.

Ответ: Область определения: $x \in [-3; 6]$. Область значений: $y \in [0; 4.5]$.