Номер 1.9, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§1. Определение числовой функции и способы её задания. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 1.9, страница 5.

1.9 a) $y = \sqrt{x};$

б) $y = \sqrt{x-3};$

В) $y = -\sqrt{x};$

Г) $y = -\sqrt{x} + 2.$

а) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x}$.

Область определения функции (D(y)) — это множество всех допустимых значений аргумента x. Так как выражение под знаком арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным, получаем условие:

$x \ge 0$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений функции (E(y)) — это множество всех значений, которые может принимать функция y. По определению, арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, поэтому:

$y = \sqrt{x} \ge 0$

Следовательно, область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x-3}$.

Область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x - 3 \ge 0$

$x \ge 3$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [3; +\infty)$.

Область значений функции. Арифметический квадратный корень всегда возвращает неотрицательное значение:

$y = \sqrt{x-3} \ge 0$

Следовательно, область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [3; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

в) Рассмотрим функцию $y = -\sqrt{x}$.

Область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений функции. Мы знаем, что $\sqrt{x} \ge 0$. Умножим обе части этого неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$-\sqrt{x} \le 0$

Так как $y = -\sqrt{x}$, получаем $y \le 0$.

Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

г) Рассмотрим функцию $y = -\sqrt{x} + 2$.

Область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений функции. Начнем с известного свойства корня:

$\sqrt{x} \ge 0$

Умножим на -1:

$-\sqrt{x} \le 0$

Прибавим 2 к обеим частям неравенства:

$-\sqrt{x} + 2 \le 2$

Так как $y = -\sqrt{x} + 2$, получаем $y \le 2$.

Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 2]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 2]$.