Номер 1.3, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§1. Определение числовой функции и способы её задания. Глава 1. Числовые функции. ч. 2 - номер 1.3, страница 4.

1.3 Для функции $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 4}{3x + 3}$, найдите:

a) $f(x - 2)$;

б) $f(-x^3)$;

в) $f\left(\frac{1}{x}\right)$;

г) $f(2x^2 + 3x + 5)$.

Дана функция $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 4}{3x + 3}$.

а) Чтобы найти $f(x - 2)$, необходимо подставить выражение $(x - 2)$ вместо переменной $x$ в формулу функции.

$f(x - 2) = \frac{2(x - 2)^2 + 3(x - 2) - 4}{3(x - 2) + 3}$

Теперь упростим полученное выражение. Сначала преобразуем числитель:

$2(x - 2)^2 + 3(x - 2) - 4 = 2(x^2 - 4x + 4) + 3x - 6 - 4 = 2x^2 - 8x + 8 + 3x - 10 = 2x^2 - 5x - 2$

Затем преобразуем знаменатель:

$3(x - 2) + 3 = 3x - 6 + 3 = 3x - 3$

В результате получаем:

$f(x - 2) = \frac{2x^2 - 5x - 2}{3x - 3}$

Ответ: $f(x-2) = \frac{2x^2 - 5x - 2}{3x - 3}$

б) Чтобы найти $f(-x^3)$, подставим выражение $(-x^3)$ вместо переменной $x$.

$f(-x^3) = \frac{2(-x^3)^2 + 3(-x^3) - 4}{3(-x^3) + 3}$

Упростим числитель и знаменатель:

$2(-x^3)^2 = 2x^6$

$3(-x^3) = -3x^3$

Числитель: $2x^6 - 3x^3 - 4$

Знаменатель: $-3x^3 + 3 = 3 - 3x^3$

В результате получаем:

$f(-x^3) = \frac{2x^6 - 3x^3 - 4}{3 - 3x^3}$

Ответ: $f(-x^3) = \frac{2x^6 - 3x^3 - 4}{3 - 3x^3}$

в) Чтобы найти $f(\frac{1}{x})$, подставим выражение $\frac{1}{x}$ вместо переменной $x$.

$f(\frac{1}{x}) = \frac{2(\frac{1}{x})^2 + 3(\frac{1}{x}) - 4}{3(\frac{1}{x}) + 3}$

Упростим числитель и знаменатель полученной дроби:

Числитель: $2(\frac{1}{x^2}) + \frac{3}{x} - 4 = \frac{2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} - \frac{4x^2}{x^2} = \frac{2 + 3x - 4x^2}{x^2}$

Знаменатель: $\frac{3}{x} + 3 = \frac{3}{x} + \frac{3x}{x} = \frac{3 + 3x}{x}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$f(\frac{1}{x}) = \frac{\frac{2 + 3x - 4x^2}{x^2}}{\frac{3 + 3x}{x}} = \frac{2 + 3x - 4x^2}{x^2} \cdot \frac{x}{3 + 3x} = \frac{-4x^2 + 3x + 2}{x(3x + 3)} = \frac{-4x^2 + 3x + 2}{3x^2 + 3x}$

Ответ: $f(\frac{1}{x}) = \frac{-4x^2 + 3x + 2}{3x^2 + 3x}$

г) Чтобы найти $f(2x^2 + 3x + 5)$, необходимо подставить выражение $(2x^2 + 3x + 5)$ вместо $x$. Прямая подстановка приведет к громоздким вычислениям. Упростим сначала вид самой функции $f(x)$.

Выделим целую часть дроби с помощью деления многочлена в столбик. Разделим $2x^2 + 3x - 4$ на $x+1$ (так как знаменатель равен $3(x+1)$):

$2x^2 + 3x - 4 = (2x+1)(x+1) - 5$

Тогда функцию $f(x)$ можно переписать в виде:

$f(x) = \frac{(2x+1)(x+1) - 5}{3(x+1)} = \frac{2x+1}{3} - \frac{5}{3(x+1)}$

Теперь в эту упрощенную форму подставим аргумент $A = 2x^2 + 3x + 5$ вместо $x$:

$f(2x^2 + 3x + 5) = \frac{2(2x^2 + 3x + 5) + 1}{3} - \frac{5}{3((2x^2 + 3x + 5) + 1)}$

Упростим каждое слагаемое:

Первое слагаемое: $\frac{2(2x^2 + 3x + 5) + 1}{3} = \frac{4x^2 + 6x + 10 + 1}{3} = \frac{4x^2 + 6x + 11}{3}$

Второе слагаемое: $\frac{5}{3(2x^2 + 3x + 5 + 1)} = \frac{5}{3(2x^2 + 3x + 6)}$

Вычтем второе слагаемое из первого, приведя их к общему знаменателю $3(2x^2 + 3x + 6)$:

$f(2x^2 + 3x + 5) = \frac{(4x^2 + 6x + 11)(2x^2 + 3x + 6)}{3(2x^2 + 3x + 6)} - \frac{5}{3(2x^2 + 3x + 6)}$

$f(2x^2 + 3x + 5) = \frac{(4x^2 + 6x + 11)(2x^2 + 3x + 6) - 5}{3(2x^2 + 3x + 6)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(8x^4 + 12x^3 + 24x^2) + (12x^3 + 18x^2 + 36x) + (22x^2 + 33x + 66) - 5 = 8x^4 + 24x^3 + 64x^2 + 69x + 61$

Упростим знаменатель:

$3(2x^2 + 3x + 6) = 6x^2 + 9x + 18$

Ответ: $f(2x^2 + 3x + 5) = \frac{8x^4 + 24x^3 + 64x^2 + 69x + 61}{6x^2 + 9x + 18}$